Subgroups — #27410660

Order 13568.

688 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275107	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275097	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133250	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133250	C₂²	1	2	yes	—
12	#16811389	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16811100	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811017	C₄	1	4	yes	complemented
17	#16811003	C₄	1	2	yes	complemented
18	#16810996	C₄	1	2	yes	complemented
19	#16810641	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810639	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810633	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810631	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133135	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810596	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810394	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810383	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810381	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810380	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#344	C₂²	1	2	yes	—
31	C₅₃×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₅₃×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
36	#13133250	—	4	2	no	—
37	#13133250	—	4	2	no	—
38	#13133250	—	4	2	no	—
39	#13133250	—	4	2	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#11719913	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#11719913	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#13133225	—	4	2	no	—
45	#13133223	—	4	2	no	—
46	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
47	M₁₆×D₅₃	—	4	2	no	—
48	#13133217	—	4	1	no	—
49	#13133217	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	#13133217	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#13133217	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	#13133214	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	#13133205	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	#13133191	—	4	1	no	—
55	C₄×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
56	#13133182	—	4	2	no	—
57	C₄×D₂₁₂	—	4	1	no	—
58	#13133176	C₂³	1	2	yes	—
59	#13133173	—	4	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
61	#13133145	—	4	2	no	—
62	#13133143	—	4	2	no	—
63	#13133142	—	4	2	no	—
64	#13133140	—	4	2	no	—
65	#13133135	—	4	2	no	—
66	#13133131	—	4	2	no	—
67	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#97×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	#11719945	—	2	2	no	—
79	#11719945	—	2	2	no	—
80	#11719945	—	2	2	no	—
81	#11719945	—	2	2	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
83	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
93	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
94	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
95	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	#11719921	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
111	#11719919	—	4	4	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
114	#11719917	—	2	2	no	—
115	#11719917	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
118	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
119	#11719913	—	4	4	no	—
120	#11719913	—	4	4	no	—
121	#11719912	—	4	4	no	—
122	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
133	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	D₂₁₂	—	2	2	no	—
141	D₂₁₂	—	2	2	no	—
142	D₂₁₂	—	8	2	no	—
143	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
144	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
145	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
146	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
147	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
148	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
154	#88322	—	4	2	no	—
155	#23360	—	53	1	no	maximal, Sylow
156	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
157	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#560	1	2	yes	—
159	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
163	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
164	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	#560	1	2	yes	—
167	Dic₅₃	—	4	4	no	—
168	Dic₅₃	—	4	2	no	—
169	Dic₅₃	—	8	2	no	—
170	#3152	—	53	1	no	—
171	#1905	—	53	2	no	—
172	#1905	—	53	2	no	—
173	#1902	—	53	2	no	—
174	#1902	—	53	2	no	—
175	#1886	—	53	2	no	—
176	#1884	—	53	2	no	—
177	#1841	—	53	1	no	—
178	#1841	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
179	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₂×C₅₃	#2380	1	1	yes	characteristic
182	D₅₃	—	8	2	no	—
183	C₂×#137	—	53	2	no	—
184	C₂×#137	—	53	2	no	—
185	#568	—	53	2	no	—
186	#532	—	53	1	no	—
187	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
188	#519	—	53	2	no	—
189	#497	—	53	4	no	—
190	#494	—	53	2	no	—
191	#492	—	53	2	no	—
192	#421	—	53	2	no	—
193	#421	—	53	2	no	—
194	#419	—	53	2	no	—
195	#419	—	53	2	no	—
196	C₂×#101	—	53	2	no	—
197	#410	—	53	2	no	—
198	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#344	—	53	2	no	—
200	#344	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	#339	—	53	2	no	—
202	#339	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	#338	—	53	1	no	—
204	#338	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	H(3,ℤ/4)	—	53	1	no	—
206	H(3,ℤ/4)	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₅₃	#23360	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂×#41	—	53	2	no	—
209	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
210	#137	—	212	2	no	—
211	#137	—	212	2	no	—
212	#137	—	212	2	no	—
213	#137	—	212	2	no	—
214	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
215	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
216	C₂×SD₁₆	—	53	4	no	—
217	C₂×SD₁₆	—	53	4	no	—
218	#131	—	212	2	no	—
219	#131	—	212	2	no	—
220	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
221	C₂×M₁₆	—	212	2	no	—
222	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
226	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
227	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
228	C₄⋊Q₈	—	212	1	no	—
229	#127	—	53	1	no	—
230	#124	—	53	2	no	—
231	#121	—	212	1	no	—
232	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
233	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
234	C₄×D₄	—	212	1	no	—
235	#117	—	53	2	no	—
236	#117	—	212	2	no	—
237	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
239	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	#104	—	212	2	no	—
241	#104	—	212	2	no	—
242	#103	—	212	2	no	—
243	#103	—	212	2	no	—
244	#101	—	212	2	no	—
245	#99	—	212	2	no	—
246	#97	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
247	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
248	#41	—	106	2	no	—
249	#41	—	106	2	no	—
250	#41	—	106	2	no	—
251	#41	—	106	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
259	C₂×D₄	—	53	2	no	—
260	C₂×D₄	—	106	2	no	—
261	C₂×D₄	—	212	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
265	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	Q₁₆	—	212	4	no	—
267	Q₁₆	—	212	4	no	—
268	SD₁₆	—	212	4	no	—
269	SD₁₆	—	212	4	no	—
270	M₁₆	—	2	2	no	—
271	M₁₆	—	2	2	no	—
272	M₁₆	—	2	2	no	—
273	M₁₆	—	2	2	no	—
274	M₁₆	—	106	2	no	—
275	M₁₆	—	106	2	no	—
276	M₁₆	—	212	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	106	2	no	—
279	C₂×C₈	—	212	4	no	—
280	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	106	2	no	—
294	C₄²	—	212	4	no	—
295	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	—	106	2	no	—
298	C₂³	#13133263	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	106	4	no	—
300	Q₈	—	106	4	no	—
301	Q₈	—	106	2	no	—
302	Q₈	—	106	2	no	—
303	Q₈	—	212	2	no	—
304	Q₈	—	212	2	no	—
305	D₄	—	106	2	no	—
306	D₄	—	106	2	no	—
307	D₄	—	424	2	no	—
308	D₄	—	212	2	no	—
309	D₄	—	212	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	106	2	no	—
315	C₂×C₄	—	106	4	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	—	212	2	no	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	4	2	no	—
328	C₈	—	212	2	no	—
329	C₂²	—	4	1	no	—
330	C₂²	—	424	2	no	—
331	C₂²	—	212	2	no	—
332	C₂²	#16811097	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#16811364	1	2	yes	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	4	1	no	—
336	C₄	—	8	2	no	—
337	C₄	—	424	2	no	—
338	C₄	—	212	2	no	—
339	C₄	—	212	4	no	—
340	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#16811364	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	2	2	no	—
345	C₂	—	424	2	no	—
346	C₂	#20277891	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂	#20277891
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1841	C₂
socle	C₂×C₅₃	#2380
prime radical	#16811173	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1841	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23360
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1841

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275210	C₂	semidirect
3. #20275208	C₂	semidirect
4. #20275189	C₂	semidirect
5. #20275187	C₂	semidirect
6. #20275107	C₂	semidirect
8. #20274864	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1841	C₂	semidirect
16. #16811017	C₄	semidirect
17. #16811003	C₄	semidirect
18. #16810996	C₄	semidirect
178. #1841	D₅₃	semidirect
207. C₅₃	#23360	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285174	2
#20275210	2
#20275208	2
#20275189	2
#20275187	2
#20275107	2
#20275097	2
#20274864	2
C₅₃×#1841	2
#23360	53