Subgroups — #27410712

Order 13568.

580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20278006	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275653	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275282	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275277	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275276	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20275272	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274859	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₅₃×#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810554	C₄	1	2	yes	—
16	#16810553	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#16810553	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#16810543	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#16810543	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#16810542	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
40	C₄×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
41	C₄×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₄⋊#88322	—	4	1	no	—
51	#13133146	—	4	2	no	—
52	#13133128	—	4	1	no	—
53	#13133127	—	4	2	no	—
54	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#13133124	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	#13133124	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₄×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
65	C₄×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₄⋊C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
73	C₄×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
105	#11719919	—	2	4	no	—
106	#11719919	—	4	2	no	—
107	#11719919	—	4	2	no	—
108	#11719919	—	4	2	no	—
109	#11719919	—	4	2	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×#88322	—	2	2	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	4	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
120	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
153	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
155	#88322	—	4	2	no	—
156	#88322	—	4	2	no	—
157	#23368	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#519	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#568	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
165	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
166	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
167	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
168	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
169	C₄×C₅₃	#563	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	#563	1	1	yes	characteristic
171	C₄×C₅₃	#563	1	2	yes	—
172	Dic₅₃	—	4	2	no	—
173	Dic₅₃	—	4	2	no	—
174	Dic₅₃	—	4	2	no	—
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	#2399	—	53	1	no	—
177	#1985	—	53	2	no	—
178	#1985	—	53	1	no	—
179	#1984	D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#1917	—	53	2	no	—
181	#1917	—	53	2	no	—
182	#1917	—	53	2	no	—
183	#1916	—	53	2	no	—
184	#1840	—	53	2	no	—
185	C₂×C₅₃	#2381	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#2976	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#2978	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#2985	1	2	yes	—
189	C₂×C₅₃	#2987	1	2	yes	—
190	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
191	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂×#97	—	53	2	no	—
196	C₂×#97	—	53	1	no	—
197	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	#398	—	53	1	no	—
199	#398	—	53	1	no	—
200	#398	—	53	2	no	—
201	#395	—	53	2	no	—
202	#395	—	53	1	no	—
203	#395	—	53	1	no	—
204	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
205	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
206	#376	—	53	1	no	—
207	#336	—	53	2	no	—
208	#336	—	53	2	no	—
209	#336	—	53	2	no	—
210	#336	—	53	2	no	—
211	#336	—	53	2	no	—
212	#336	—	53	2	no	—
213	#336	—	53	2	no	—
214	#336	—	53	2	no	—
215	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
216	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₅₃	#23368	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
218	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
219	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
221	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
222	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
225	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
226	C₄×Q₈	—	212	1	no	—
227	C₄×Q₈	—	212	1	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
238	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
243	C₄⋊C₈	—	212	1	no	—
244	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
245	#97	—	212	1	no	—
246	#97	—	212	2	no	—
247	C₄×C₈	—	4	1	no	—
248	#95	—	53	2	no	—
249	#95	—	53	1	no	—
250	#95	—	53	1	no	—
251	#95	—	53	2	no	—
252	#95	—	53	2	no	—
253	#95	—	53	2	no	—
254	#95	—	53	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
258	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
259	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	106	2	no	—
277	C₂×C₈	—	106	2	no	—
278	C₂×C₈	—	106	2	no	—
279	C₂×C₈	—	106	4	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	106	2	no	—
297	C₄²	—	106	2	no	—
298	C₄²	—	106	2	no	—
299	C₄²	—	106	2	no	—
300	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	Q₈	—	212	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	106	2	no	—
318	C₂×C₄	—	106	2	no	—
319	C₂×C₄	—	106	2	no	—
320	C₂×C₄	—	106	2	no	—
321	C₂×C₄	—	106	2	no	—
322	C₂×C₄	—	106	2	no	—
323	C₂×C₄	—	106	2	no	—
324	C₂×C₄	—	106	2	no	—
325	C₂×C₄	—	106	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	2	no	—
328	C₂×C₄	—	106	2	no	—
329	C₂×C₄	#13133223	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
334	C₈	—	4	2	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	—	212	2	no	—
337	C₈	—	212	2	no	—
338	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#16811099	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#13133223	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#16811388	1	2	yes	—
342	C₂²	#16811389	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	4	1	no	—
345	C₄	—	4	1	no	—
346	C₄	—	4	1	no	—
347	C₄	—	4	1	no	—
348	C₄	—	4	1	no	—
349	C₄	—	212	2	no	—
350	C₄	—	212	2	no	—
351	C₄	—	212	2	no	—
352	C₄	—	212	2	no	—
353	C₄	#16811372	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#16811373	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16811374	1	2	yes	—
356	C₂	#20277894	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20283760	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20283773	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20283806	1	2	yes	—
360	C₂	#20283818	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1984	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1984	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23368
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1984

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
217. C₅₃	#23368	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20278006	2
#20275656	2
#20275653	2
#20275282	2
#20275277	2
#20275276	2
#20275272	2
#20274859	2
C₅₃×#1984	2
#23368	53