Subgroups — #27410904

Order 13568.

2334 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16811187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810629	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275713	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₅₃×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×D₄₂₄	—	2	8	no	—
9	C₂²×D₄₂₄	—	2	4	no	—
10	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	4	yes	—
11	#16811187	—	2	8	no	—
12	#16811187	—	2	8	no	—
13	C₂×#13133213	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133206	—	2	2	no	—
15	C₂×#13133191	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13133185	—	2	4	no	—
17	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810629	—	2	8	no	—
19	C₂×#13133139	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#16810386	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#408	—	2	4	no	—
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	8	yes	complemented
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
36	C₂×D₄₂₄	—	2	32	no	—
37	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
38	C₂×D₄₂₄	—	2	16	no	—
39	#13133213	—	2	16	no	—
40	#13133206	—	2	16	no	—
41	#13133191	—	2	16	no	—
42	#13133191	—	2	16	no	—
43	#13133185	—	2	32	no	—
44	#13133176	—	2	4	no	—
45	#13133176	D₄	1	8	yes	complemented
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	#13133139	—	2	16	no	—
51	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×D₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂³×D₅₃	—	8	8	no	—
74	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
75	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
76	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	32	no	—
95	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	8	16	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
109	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
117	#11719921	—	2	32	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
121	D₄₂₄	—	2	32	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₅₃	#120	1	4	yes	—
127	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
137	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
138	D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂²⋊D₅₃	—	8	32	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
157	D₂₁₂	—	2	8	no	—
158	D₂₁₂	—	2	8	no	—
159	D₂₁₂	—	4	4	no	—
160	D₂₁₂	—	4	4	no	—
161	D₂₁₂	—	4	16	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
164	#23387	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₅₃	#392	1	4	yes	—
171	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
172	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	#576	1	4	yes	—
174	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
179	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
180	C₄×C₅₃	#392	1	4	yes	—
181	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
183	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
184	Dic₅₃	—	4	8	no	—
185	C₂³×D₈	—	53	1	no	—
186	C₂×#535	—	53	2	no	—
187	C₂×#418	—	53	2	no	—
188	C₂×#408	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
189	#1999	—	53	8	no	—
190	#1735	—	53	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
192	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
193	C₂×C₅₃	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3008	1	4	yes	—
195	C₂×C₅₃	#3058	1	2	yes	—
196	D₅₃	—	8	8	no	—
197	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
199	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
200	C₂²×D₈	—	106	8	no	—
201	C₂²×D₈	—	106	4	no	—
202	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#535	—	106	8	no	—
205	#535	—	106	8	no	—
206	C₂×#127	—	106	2	no	—
207	C₂×#124	—	106	2	no	—
208	C₂×#121	—	53	8	no	—
209	C₂×#120	—	106	4	no	—
210	C₂×#117	—	53	2	no	—
211	#418	—	106	8	no	—
212	C₂×#102	—	53	8	no	—
213	#408	—	2	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
215	#340	—	53	4	no	—
216	C₅₃	#23387	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂⁵	—	106	2	no	—
218	C₂×#41	—	2	2	no	—
219	C₂×#41	—	2	4	no	—
220	C₂×#41	—	2	4	no	—
221	C₂×#41	—	2	2	no	—
222	C₂²×Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
224	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
225	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
226	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
229	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
230	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
231	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
232	C₂²×D₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
233	C₂²×D₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
234	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
235	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×D₈	—	106	16	no	—
237	C₂×D₈	—	106	32	no	—
238	C₂×D₈	—	106	8	no	—
239	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
240	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	complemented
243	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	#127	—	106	16	no	—
246	#124	—	106	16	no	—
247	#121	—	106	16	no	—
248	#121	—	106	16	no	—
249	#120	—	106	32	no	—
250	#117	—	53	8	no	—
251	#117	—	106	4	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
255	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
256	#102	—	106	16	no	—
257	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
258	C₂⁴	—	106	8	no	—
259	C₂⁴	—	106	4	no	—
260	C₂⁴	—	424	8	no	—
261	C₂⁴	—	212	4	no	—
262	C₂⁴	—	212	4	no	—
263	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
264	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
265	#41	—	4	4	no	—
266	#41	—	4	8	no	—
267	#41	—	4	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	8	no	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	2	2	no	—
274	C₂×D₄	—	53	8	no	—
275	C₂×D₄	—	106	32	no	—
276	C₂×D₄	—	106	16	no	—
277	C₂×D₄	—	106	8	no	—
278	C₂×D₄	—	106	16	no	—
279	C₂×D₄	—	106	4	no	—
280	C₂×D₄	—	106	4	no	—
281	C₂×D₄	—	106	4	no	—
282	C₂×D₄	—	106	4	no	—
283	C₂×D₄	—	106	4	no	—
284	C₂×D₄	—	424	16	no	—
285	C₂×D₄	—	212	4	no	—
286	C₂×D₄	—	212	8	no	—
287	C₂×D₄	—	212	4	no	—
288	C₂×D₄	—	212	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
294	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
298	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	D₈	—	106	32	no	—
302	M₁₆	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	8	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
308	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
312	C₄²	—	106	8	no	—
313	C₂³	—	2	4	no	—
314	C₂³	—	2	4	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	8	no	—
317	C₂³	—	106	8	no	—
318	C₂³	—	424	16	no	—
319	C₂³	—	424	16	no	—
320	C₂³	—	424	16	no	—
321	C₂³	—	212	16	no	—
322	C₂³	—	212	4	no	—
323	C₂³	—	212	4	no	—
324	C₂³	—	212	16	no	—
325	C₂³	#13133187	1	4	yes	—
326	C₂³	#13133191	1	2	yes	—
327	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	8	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	106	8	no	—
332	D₄	—	106	8	no	—
333	D₄	—	424	32	no	—
334	D₄	—	212	16	no	—
335	D₄	—	212	4	no	—
336	D₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	106	8	no	—
343	C₂×C₄	—	212	8	no	—
344	C₂×C₄	#13133185	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	#13133190	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#13133213	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	424	32	no	—
361	C₂²	—	424	8	no	—
362	C₂²	—	424	8	no	—
363	C₂²	—	212	16	no	—
364	C₂²	—	212	8	no	—
365	C₂²	#16810532	1	4	yes	—
366	C₂²	C₂×#13133187	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#16811428	1	4	yes	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	212	8	no	—
371	C₄	#16810532	1	4	yes	—
372	C₄	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₂×#13133190	1	2	yes	—
374	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	4	no	—
376	C₂	—	8	2	no	—
377	C₂	—	424	8	no	—
378	C₂	C₂×#16810532	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20283985	1	4	yes	—
380	C₂	#20284363	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#408	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×#408	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23387
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ C₂×#408

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×D₄₂₄	C₂	semidirect
2. C₂×#16811187	C₂	semidirect
3. C₂×#16810629	C₂	semidirect
4. #20275713	C₂	semidirect
5. #20274432	C₂	semidirect
6. C₂×C₅₃×#408	C₂	semidirect
15. C₂×#13133191	C₂²	semidirect
19. C₂×#13133139	C₂²	semidirect
20. #16810386	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
33. C₂²×D₂₁₂	D₄	semidirect
45. #13133176	D₄	semidirect
63. C₂²×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
188. C₂×#408	D₅₃	semidirect
214. C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	semidirect
216. C₅₃	#23387	semidirect
242. C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×D₄₂₄	2
C₂×#16811187	2
C₂×#16810629	2
#20275713	2
#20274432	2
C₂×C₅₃×#408	2
#23387	53