Subgroups — #27410905

Order 13568.

2334 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16811192	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16810589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275714	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×D₄₂₄	—	2	8	no	—
10	C₂²×D₄₂₄	—	2	4	no	—
11	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811192	—	2	8	no	—
14	#16811192	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
16	C₂×#13133205	—	2	2	no	—
17	C₂×#13133192	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#13133187	—	2	4	no	—
19	#16810627	—	2	8	no	—
20	C₂×#13133137	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#16810589	—	2	4	no	—
22	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#340	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
28	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
30	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
39	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	8	yes	complemented
41	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊D₅₃	D₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	32	no	—
45	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
46	C₂×D₄₂₄	—	2	16	no	—
47	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
49	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
50	#13133214	—	2	16	no	—
51	#13133205	—	2	16	no	—
52	#13133192	—	2	16	no	—
53	#13133192	—	2	16	no	—
54	#13133187	—	2	32	no	—
55	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
56	#13133137	—	2	16	no	—
57	#13133129	—	2	8	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
63	#117×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂³×D₅₃	—	8	8	no	—
73	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	#11719945	—	4	4	no	—
85	#11719945	—	4	8	no	—
86	#11719945	—	4	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	32	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	8	16	no	—
103	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
115	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
117	#11719921	—	2	32	no	—
118	#11719917	—	4	4	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	—	2	4	no	—
121	D₄₂₄	—	2	32	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	#120	1	4	yes	—
124	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	D₂₁₂	—	2	8	no	—
152	D₂₁₂	—	2	8	no	—
153	D₂₁₂	—	4	4	no	—
154	D₂₁₂	—	4	4	no	—
155	D₂₁₂	—	4	16	no	—
156	D₂₁₂	—	4	4	no	—
157	D₂₁₂	—	8	32	no	—
158	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
159	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
161	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
163	#88322	—	4	2	no	—
164	#23387	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₅₃	#392	1	4	yes	—
168	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	#576	1	4	yes	—
171	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
179	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
180	C₄×C₅₃	#392	1	4	yes	—
181	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
183	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
184	Dic₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂³×D₈	—	53	1	no	—
186	C₂×#535	—	53	2	no	—
187	C₂×#418	—	53	2	no	—
188	C₂×#408	—	53	1	no	—
189	#1999	—	53	8	no	—
190	#1735	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
191	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
192	C₂×C₅₃	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#3008	1	4	yes	—
194	C₂×C₅₃	#3058	1	2	yes	—
195	D₅₃	—	8	2	no	—
196	D₅₃	—	8	8	no	—
197	C₂²×#41	—	53	1	no	—
198	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
199	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
200	C₂²×D₈	—	106	8	no	—
201	C₂²×D₈	—	106	4	no	—
202	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
203	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#535	—	106	8	no	—
205	#535	—	106	8	no	—
206	C₂×#127	—	106	2	no	—
207	C₂×#124	—	106	2	no	—
208	C₂×#121	—	53	8	no	—
209	C₂×#120	—	106	4	no	—
210	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	#418	—	106	8	no	—
212	C₂×#102	—	53	8	no	—
213	#408	—	106	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
215	#340	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
216	C₅₃	#23387	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂⁵	—	106	2	no	—
218	C₂×#41	—	106	4	no	—
219	C₂×#41	—	106	2	no	—
220	C₂×#41	—	106	4	no	—
221	C₂×#41	—	106	2	no	—
222	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
223	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
224	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
225	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
226	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
227	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
229	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
230	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
231	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
232	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
233	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
234	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
235	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×D₈	—	106	16	no	—
237	C₂×D₈	—	106	32	no	—
238	C₂×D₈	—	106	8	no	—
239	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
240	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
241	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
243	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	#127	—	106	16	no	—
246	#124	—	106	16	no	—
247	#121	—	106	16	no	—
248	#121	—	106	16	no	—
249	#120	—	106	32	no	—
250	#117	—	2	4	no	—
251	#117	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
252	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
255	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
256	#102	—	106	16	no	—
257	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
258	C₂⁴	—	53	2	no	—
259	C₂⁴	—	106	8	no	—
260	C₂⁴	—	106	4	no	—
261	C₂⁴	—	424	8	no	—
262	C₂⁴	—	212	4	no	—
263	C₂⁴	—	212	4	no	—
264	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	#41	—	212	4	no	—
266	#41	—	212	8	no	—
267	#41	—	212	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
270	C₂×D₄	—	53	8	no	—
271	C₂×D₄	—	106	32	no	—
272	C₂×D₄	—	106	8	no	—
273	C₂×D₄	—	106	4	no	—
274	C₂×D₄	—	106	16	no	—
275	C₂×D₄	—	106	8	no	—
276	C₂×D₄	—	106	4	no	—
277	C₂×D₄	—	106	16	no	—
278	C₂×D₄	—	106	2	no	—
279	C₂×D₄	—	106	4	no	—
280	C₂×D₄	—	106	4	no	—
281	C₂×D₄	—	106	4	no	—
282	C₂×D₄	—	106	4	no	—
283	C₂×D₄	—	106	4	no	—
284	C₂×D₄	—	424	16	no	—
285	C₂×D₄	—	212	4	no	—
286	C₂×D₄	—	212	4	no	—
287	C₂×D₄	—	212	8	no	—
288	C₂×D₄	—	212	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
294	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
295	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
297	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
299	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	D₈	—	106	32	no	—
302	M₁₆	—	212	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	8	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	106	2	no	—
306	C₂×C₈	—	106	4	no	—
307	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
312	C₄²	—	2	8	no	—
313	C₂³	—	2	4	no	—
314	C₂³	—	106	8	no	—
315	C₂³	—	106	4	no	—
316	C₂³	—	106	2	no	—
317	C₂³	—	106	8	no	—
318	C₂³	—	424	16	no	—
319	C₂³	—	424	16	no	—
320	C₂³	—	424	16	no	—
321	C₂³	—	212	16	no	—
322	C₂³	—	212	4	no	—
323	C₂³	—	212	4	no	—
324	C₂³	—	212	16	no	—
325	C₂³	#13133187	1	4	yes	—
326	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
327	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	212	4	no	—
329	D₄	—	106	8	no	—
330	D₄	—	106	8	no	—
331	D₄	—	424	32	no	—
332	D₄	—	212	8	no	—
333	D₄	—	212	16	no	—
334	D₄	—	212	4	no	—
335	D₄	—	212	4	no	—
336	D₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	106	4	no	—
340	C₂×C₄	—	106	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	4	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#13133192	1	8	yes	—
348	C₂×C₄	#13133214	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	212	2	no	—
355	C₂²	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	424	32	no	—
358	C₂²	—	424	8	no	—
359	C₂²	—	424	8	no	—
360	C₂²	—	212	8	no	—
361	C₂²	—	212	16	no	—
362	C₂²	—	212	2	no	—
363	C₂²	—	212	8	no	—
364	C₂²	—	212	4	no	—
365	C₂²	#16810533	1	4	yes	—
366	C₂²	C₂×#13133187	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#16811425	1	4	yes	—
369	C₄	—	4	8	no	—
370	C₄	—	212	2	no	—
371	C₄	#16810533	1	4	yes	—
372	C₄	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₂×#13133192	1	2	yes	—
374	C₄	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	4	no	—
376	C₂	—	424	8	no	—
377	C₂	—	424	2	no	—
378	C₂	C₂×#16810533	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20283986	1	4	yes	—
380	C₂	#20284364	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1735	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#1735	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23387
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ #1735

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×D₄₂₄	C₂	semidirect
2. C₂×#16811192	C₂	semidirect
3. C₂×#16810627	C₂	semidirect
4. C₂×#16810589	C₂	semidirect
5. #20275714	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1735	C₂	semidirect
17. C₂×#13133192	C₂²	semidirect
20. C₂×#13133137	C₂²	semidirect
22. C₂×#13133129	C₂²	semidirect
25. C₅₃×#340	C₂²	semidirect
40. C₂²×D₂₁₂	D₄	semidirect
60. C₂²×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
63. #117×C₅₃	D₄	semidirect
190. #1735	D₅₃	semidirect
215. #340	C₂×D₅₃	semidirect
216. C₅₃	#23387	semidirect
243. C₂²×C₈	D₂₁₂	semidirect
251. #117	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×D₄₂₄	2
C₂×#16811192	2
C₂×#16810627	2
C₂×#16810589	2
#20275714	2
C₅₃×#1735	2
#23387	53