Subgroups — #27411265

Order 13568.

2018 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133250	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810633	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275817	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275800	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133250	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133250	—	2	8	no	—
12	C₂×#13133250	—	2	8	no	—
13	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#11719913	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133217	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133217	—	2	2	no	—
17	C₂×#13133217	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
20	#16810633	—	2	8	no	—
21	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
22	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810502	—	2	2	no	—
25	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
26	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
30	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
31	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
32	C₂×#11719945	D₄	1	4	yes	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	8	yes	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
46	#13133250	—	2	64	no	—
47	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
49	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
50	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
51	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
52	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
53	#13133217	—	2	16	no	—
54	#13133217	—	2	16	no	—
55	#13133176	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
60	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
62	#13133142	—	2	16	no	—
63	#13133124	—	2	4	no	—
64	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
93	#11719945	—	2	16	no	—
94	#11719945	—	4	8	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
98	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
112	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
113	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
114	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
115	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
116	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
117	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
120	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
126	#11719921	—	4	8	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	2	32	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
129	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
130	Dic₂₁₂	—	2	32	no	—
131	#11719913	—	2	32	no	—
132	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
134	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
135	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
136	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	8	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	8	yes	complemented
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
164	D₂₁₂	—	2	4	no	—
165	D₂₁₂	—	4	2	no	—
166	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
167	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
168	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
169	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
171	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
172	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
173	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
174	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
175	#23432	—	53	1	no	maximal, Sylow
176	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₅₃	#392	1	4	yes	—
180	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	4	yes	—
184	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
186	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
187	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
189	C₄×C₅₃	#392	1	4	yes	—
190	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
191	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
192	Dic₅₃	—	4	8	no	—
193	Dic₅₃	—	4	2	no	—
194	Dic₅₃	—	8	2	no	—
195	C₂²×#137	—	53	2	no	—
196	C₂²×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
197	C₂×#419	—	53	2	no	—
198	#2297	—	53	1	no	—
199	#2016	—	53	4	no	—
200	#2013	—	53	4	no	—
201	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
202	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
203	C₂×C₅₃	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#3004	1	2	yes	—
205	C₂×C₅₃	#3039	1	2	yes	—
206	C₂×C₅₃	#3152	1	2	yes	—
207	D₅₃	—	8	2	no	—
208	C₂²×#41	—	53	1	no	—
209	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
210	C₂×#137	—	106	8	no	—
211	C₂×#137	—	106	8	no	—
212	C₂×#137	—	106	8	no	—
213	C₂²×Q₁₆	—	53	4	no	—
214	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
215	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
217	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
218	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
219	C₂×#117	—	53	1	no	—
220	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
221	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	#419	—	106	8	no	—
223	C₂×#103	—	53	8	no	—
224	#391	—	53	2	no	—
225	#390	—	53	2	no	—
226	#386	—	106	2	no	—
227	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
228	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
229	C₅₃	#23432	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
230	C₂×#41	—	53	4	no	—
231	C₂×#41	—	106	2	no	—
232	C₂×#41	—	106	4	no	—
233	C₂×#41	—	106	4	no	—
234	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
235	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
236	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
237	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
238	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
239	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
240	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
241	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
242	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
243	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
244	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
245	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
246	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
247	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
248	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	#137	—	106	64	no	—
250	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
251	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
252	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
253	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
254	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
255	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
256	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
257	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
258	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	8	yes	—
259	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
260	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
261	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
262	#117	—	106	4	no	—
263	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
265	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
266	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
267	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
270	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
271	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
272	#103	—	106	16	no	—
273	#95	—	106	4	no	—
274	C₂⁴	—	106	1	no	—
275	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
276	#41	—	106	16	no	—
277	#41	—	212	8	no	—
278	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
279	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
280	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
281	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
282	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
283	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
284	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
285	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
289	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
291	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
292	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
293	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
294	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
295	C₂×D₄	—	53	2	no	—
296	C₂×D₄	—	106	4	no	—
297	C₂×D₄	—	106	2	no	—
298	C₂×D₄	—	106	2	no	—
299	C₂×D₄	—	106	1	no	—
300	C₂×D₄	—	212	2	no	—
301	C₂×D₄	—	212	2	no	—
302	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
305	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
306	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
307	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
308	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
310	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
311	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
312	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
313	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
314	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
315	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
316	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
317	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
318	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
319	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	Q₁₆	—	106	32	no	—
321	SD₁₆	—	106	32	no	—
322	M₁₆	—	2	16	no	—
323	C₂×C₈	—	2	4	no	—
324	C₂×C₈	—	2	4	no	—
325	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
326	C₄⋊C₄	—	106	32	no	—
327	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
330	C₄²	—	2	4	no	—
331	C₄²	—	2	4	no	—
332	C₄²	—	212	2	no	—
333	C₂³	—	2	4	no	—
334	C₂³	—	106	2	no	—
335	C₂³	—	212	1	no	—
336	C₂³	—	212	4	no	—
337	C₂³	—	212	1	no	—
338	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
339	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
340	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
341	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
342	Q₈	—	106	8	no	—
343	Q₈	—	106	4	no	—
344	Q₈	—	106	8	no	—
345	Q₈	—	212	16	no	—
346	Q₈	—	212	4	no	—
347	Q₈	—	212	4	no	—
348	Q₈	—	212	2	no	—
349	D₄	—	106	4	no	—
350	D₄	—	212	8	no	—
351	D₄	—	212	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	16	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	106	8	no	—
356	C₂×C₄	—	106	2	no	—
357	C₂×C₄	—	212	4	no	—
358	C₂×C₄	—	212	2	no	—
359	C₂×C₄	—	212	16	no	—
360	C₂×C₄	—	212	1	no	—
361	C₂×C₄	—	212	4	no	—
362	C₂×C₄	—	212	1	no	—
363	C₂×C₄	—	212	4	no	—
364	C₂×C₄	—	212	8	no	—
365	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#13133187	1	8	yes	—
367	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#13133192	1	8	yes	—
369	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#13133250	1	8	yes	complemented
371	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
375	C₈	—	2	8	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	424	2	no	—
380	C₂²	—	424	2	no	—
381	C₂²	—	212	4	no	—
382	C₂²	—	212	2	no	—
383	C₂²	#16810533	1	4	yes	—
384	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#13133250	1	4	yes	—
388	C₄	—	2	8	no	—
389	C₄	—	424	2	no	—
390	C₄	—	212	2	no	—
391	C₄	—	212	8	no	—
392	C₄	#16810533	1	4	yes	—
393	C₄	C₂×#13133187	1	2	yes	—
394	C₄	C₂×#13133192	1	2	yes	—
395	C₂	—	2	4	no	—
396	C₂	—	424	2	no	—
397	C₂	C₂×#16810533	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#20283952	1	2	yes	—
399	C₂	#20284203	1	2	yes	—
400	C₂	#20285174	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23432
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#13133217	C₂	semidirect
3. C₂×#16810633	C₂	semidirect
5. #20275817	C₂	semidirect
6. #20275800	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
149. C₂×C₄×C₅₃	#137	semidirect
201. #1728	D₅₃	semidirect
229. C₅₃	#23432	semidirect
370. C₂×C₄	#13133250	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133250	2
C₂²×#13133217	2
C₂×#16810633	2
#20277205	2
#20275817	2
#20275800	2
C₅₃×#1728	2
#23432	53