Subgroups — C₂×#20275861 #27411368

Order 13568.

1518 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#13133138	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275861	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#16810385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16810378	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₅₃×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#13133209	—	2	8	no	—
9	C₂×#13133209	—	2	2	no	—
10	C₂×#13133209	C₂²	1	4	yes	complemented
11	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#11719919	—	2	2	no	—
13	C₂×#13133138	—	2	8	no	—
14	C₂×#13133138	C₂²	1	8	yes	—
15	#16810385	C₂²	1	8	yes	complemented
16	#16810378	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
20	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₅₃×#390	—	2	2	no	—
22	C₅₃×#390	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
25	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
26	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
27	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
28	#13133209	—	2	16	no	—
29	#13133209	—	2	16	no	—
30	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
31	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
33	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×#11719919	—	2	16	no	—
35	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
36	#13133138	—	2	16	no	—
37	C₂⁵×C₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₄×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
58	C₂⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
59	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
60	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
61	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
63	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
68	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂×D₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	#11719919	—	2	32	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂×#88322	—	4	8	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	8	8	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
111	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	#135	1	4	yes	—
115	C₂³×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
117	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
118	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	8	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
140	#88322	—	4	4	no	—
141	C₂×#2025	—	53	1	no	maximal, Sylow
142	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	8	16	no	—
148	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
149	C₂²×C₅₃	#449	1	8	yes	—
150	C₂²×C₅₃	#478	1	8	yes	—
151	C₂²×C₅₃	#488	1	4	yes	—
152	C₂²×C₅₃	#490	1	4	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
158	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
159	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
160	C₄×C₅₃	#393	1	4	yes	—
161	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
162	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
163	Dic₅₃	—	4	8	no	—
164	C₂²×#125	—	53	1	no	—
165	C₂²×#102	—	53	2	no	—
166	C₂×#390	D₅₃	1	1	yes	characteristic
167	#2025	—	53	8	no	—
168	C₂×#340	—	53	2	no	—
169	C₂×#336	—	53	1	no	—
170	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂×C₅₃	#2025	1	8	yes	complemented
172	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	C₂×#449	1	2	yes	—
174	C₂×C₅₃	C₂×#478	1	2	yes	—
175	C₂×C₅₃	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	C₂×#490	1	1	yes	characteristic
177	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
179	C₂×#125	—	53	4	no	—
180	C₂×#125	—	106	8	no	—
181	C₂×#125	—	106	2	no	—
182	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
183	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
184	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂×#102	—	53	8	no	—
188	C₂×#102	—	106	8	no	—
189	#390	—	2	2	no	—
190	#390	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
191	#340	—	53	8	no	—
192	#336	—	53	4	no	—
193	C₅₃	C₂×#2025	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
194	C₂⁵	—	2	1	no	—
195	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×D₄	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
200	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
203	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
206	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
207	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
208	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
209	#125	—	106	16	no	—
210	#125	—	106	16	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
225	#102	—	106	16	no	—
226	C₂⁴	—	2	4	no	—
227	C₂⁴	—	2	2	no	—
228	C₂⁴	—	4	2	no	—
229	C₂⁴	—	4	2	no	—
230	C₂⁴	—	4	4	no	—
231	C₂⁴	—	4	4	no	—
232	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂×D₄	—	2	16	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
252	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	—	106	4	no	—
260	C₂×C₈	—	106	4	no	—
261	C₂×C₈	—	106	4	no	—
262	C₂×C₈	—	212	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	32	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	16	no	—
279	C₂³	—	8	8	no	—
280	C₂³	—	8	4	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	#13133185	1	2	yes	—
283	C₂³	#13133196	1	2	yes	—
284	C₂³	#13133204	1	2	yes	—
285	C₂³	#13133237	1	4	yes	—
286	C₂³	#13133243	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	D₄	—	2	8	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	106	8	no	—
299	C₂×C₄	—	212	16	no	—
300	C₂×C₄	—	212	4	no	—
301	C₂×C₄	—	212	4	no	—
302	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#13133194	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	#13133196	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#13133203	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	#13133204	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	212	4	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	2	no	—
317	C₂²	—	8	16	no	—
318	C₂²	#16810535	1	4	yes	—
319	C₂²	#16810766	1	8	yes	—
320	C₂²	#16810923	1	8	yes	—
321	C₂²	#16810977	1	4	yes	—
322	C₂²	#16810987	1	4	yes	—
323	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂×#13133243	1	2	yes	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	8	2	no	—
330	C₄	—	212	8	no	—
331	C₄	#16810535	1	4	yes	—
332	C₄	C₂×#13133194	1	2	yes	—
333	C₄	C₂×#13133203	1	2	yes	—
334	C₂	—	8	4	no	—
335	C₂	#20275861	1	8	yes	direct product factor
336	C₂	C₂×#16810535	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×#16810766	1	2	yes	—
338	C₂	C₂×#16810923	1	2	yes	—
339	C₂	C₂×#16810977	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#16810987	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#390	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²
hypercenter	C₂×#390	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#2025
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#390

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133209	C₂	semidirect
3. #20275861	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#16810385	C₂	semidirect
5. C₂×#16810378	C₂	semidirect
10. C₂×#13133209	C₂²	semidirect
15. #16810385	C₂²	semidirect
16. #16810378	C₂²	semidirect
171. C₂×C₅₃	#2025	semidirect
193. C₅₃	C₂×#2025	semidirect
335. C₂	#20275861	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133209	2
C₂²×#13133138	2
#20275861	2
C₂×#16810385	2
C₂×#16810378	2
C₂×C₅₃×#390	2
C₂×#2025	53

Subgroups — C2×#20275861 #27411368

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20275861 #27411368