Subgroups — C₂×#20275863 #27411377

Order 13568.

1302 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 310 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133140	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16810529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275863	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#16810385	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#16810378	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×#125×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133140	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133140	C₂²	1	8	yes	—
12	#16810529	—	2	2	no	—
13	#16810529	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
15	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
16	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#125×C₅₃	—	2	8	no	—
18	C₂×#125×C₅₃	—	2	2	no	—
19	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
24	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
25	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	1	4	yes	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
30	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
31	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
32	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
33	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
38	#13133140	—	2	16	no	—
39	#13133124	—	2	8	no	—
40	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#125×C₅₃	—	2	16	no	—
44	#125×C₅₃	—	2	16	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
76	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
77	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
78	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
85	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×#88322	—	2	4	no	—
94	C₂×#88322	—	2	4	no	—
95	C₂×#88322	—	2	4	no	—
96	C₂×#88322	—	4	8	no	—
97	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
98	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
99	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
100	C₂³×C₅₃	#135	1	4	yes	—
101	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
102	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	8	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
127	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
128	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
129	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
130	#88322	—	4	4	no	—
131	C₂×#2026	—	53	1	no	maximal, Sylow
132	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
133	C₂²×C₅₃	#452	1	8	yes	—
134	C₂²×C₅₃	#479	1	8	yes	—
135	C₂²×C₅₃	#488	1	4	yes	—
136	C₂²×C₅₃	#491	1	4	yes	—
137	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
141	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
142	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
143	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
144	C₄×C₅₃	#393	1	4	yes	—
145	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
146	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
147	Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	Dic₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂²×#125	D₅₃	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×#103	—	53	2	no	—
151	C₂×#391	—	53	1	no	—
152	#2026	—	53	8	no	—
153	C₂×#340	—	53	2	no	—
154	C₂×#336	—	53	1	no	—
155	C₂×C₅₃	#2026	1	8	yes	complemented
156	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	C₂×#452	1	2	yes	—
158	C₂×C₅₃	C₂×#479	1	2	yes	—
159	C₂×C₅₃	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₅₃	C₂×#491	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
162	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
163	C₂×#125	—	2	8	no	—
164	C₂×#125	—	2	2	no	—
165	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
168	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
170	C₂×#103	—	53	8	no	—
171	C₂×#103	—	106	8	no	—
172	#391	—	53	4	no	—
173	#391	—	106	2	no	—
174	C₂×#95	—	106	2	no	—
175	#340	—	53	8	no	—
176	#336	—	53	4	no	—
177	C₅₃	C₂×#2026	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
178	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
179	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
180	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
181	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
182	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
183	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
184	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
186	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
187	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
190	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
191	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
192	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
193	#125	—	2	16	no	—
194	#125	—	2	16	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
207	#103	—	106	16	no	—
208	#95	—	106	8	no	—
209	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
214	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
233	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	—	106	4	no	—
241	C₂×C₈	—	106	4	no	—
242	C₂×C₈	—	106	4	no	—
243	C₂×C₈	—	212	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
249	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₂³	#13133186	1	2	yes	—
253	C₂³	#13133193	1	2	yes	—
254	C₂³	#13133206	1	2	yes	—
255	C₂³	#13133237	1	4	yes	—
256	C₂³	#13133247	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	106	8	no	—
259	Q₈	—	212	8	no	—
260	Q₈	—	212	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	106	4	no	—
270	C₂×C₄	—	424	4	no	—
271	C₂×C₄	—	212	2	no	—
272	C₂×C₄	—	212	4	no	—
273	C₂×C₄	—	212	8	no	—
274	C₂×C₄	—	212	2	no	—
275	C₂×C₄	—	212	2	no	—
276	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#13133193	1	8	yes	—
279	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#13133206	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
285	C₈	—	212	4	no	—
286	C₂²	#16810534	1	4	yes	—
287	C₂²	#16810785	1	8	yes	—
288	C₂²	#16810927	1	8	yes	—
289	C₂²	#16810980	1	4	yes	—
290	C₂²	#16810993	1	4	yes	—
291	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
295	C₂²	C₂×#13133247	1	2	yes	—
296	C₄	—	4	4	no	—
297	C₄	—	4	8	no	—
298	C₄	—	424	2	no	—
299	C₄	—	212	4	no	—
300	C₄	#16810534	1	4	yes	—
301	C₄	C₂×#13133193	1	2	yes	—
302	C₄	C₂×#13133206	1	2	yes	—
303	C₂	#20275863	1	8	yes	direct product factor
304	C₂	C₂×#16810534	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂×#16810785	1	2	yes	—
306	C₂	C₂×#16810927	1	2	yes	—
307	C₂	C₂×#16810980	1	1	yes	characteristic
308	C₂	C₂×#16810993	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×#125×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂²×#125	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#2026
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×#125

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275863	C₂	direct (N × H)
155. C₂×C₅₃	#2026	semidirect
177. C₅₃	C₂×#2026	semidirect
303. C₂	#20275863	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133140	2
C₂×#16810529	2
#20275863	2
C₂×#16810385	2
C₂×#16810378	2
C₂²×#125×C₅₃	2
C₂×#2026	53

Subgroups — C2×#20275863 #27411377

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20275863 #27411377