Subgroups — #27411397

Order 13568.

1498 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810625	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275857	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275852	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
10	C₂×#13133217	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133217	—	2	2	no	—
12	C₂×#13133217	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810625	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810502	—	2	1	no	—
22	#16810502	—	2	1	no	—
23	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
24	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
29	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
30	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
31	C₂×#11719945	Q₈	1	4	yes	complemented
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
40	#13133217	—	2	16	no	—
41	#13133217	—	2	16	no	—
42	#13133176	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
54	#13133142	—	2	8	no	—
55	#13133139	—	2	8	no	—
56	#13133124	—	2	2	no	—
57	#13133124	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
90	#11719945	—	2	16	no	—
91	#11719945	—	4	8	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
95	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	4	32	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
107	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
114	#11719921	—	4	4	no	—
115	#11719921	—	4	4	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
127	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	8	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
150	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	D₂₁₂	—	2	4	no	—
161	D₂₁₂	—	4	2	no	—
162	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
163	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
164	Dic₁₀₆	—	4	32	no	—
165	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
166	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
167	#23452	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
173	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
177	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
178	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
179	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
182	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
185	C₄×C₅₃	#393	1	4	yes	—
186	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
188	Dic₅₃	—	4	2	no	—
189	Dic₅₃	—	4	8	no	—
190	Dic₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂²×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
192	C₂×#417	—	53	2	no	—
193	#2297	—	53	1	no	—
194	#2024	—	53	4	no	—
195	#2023	—	53	4	no	—
196	#1736	—	53	2	no	—
197	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
198	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
199	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	#3003	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#3004	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3079	1	2	yes	—
203	C₂×C₅₃	#3141	1	2	yes	—
204	D₅₃	—	8	2	no	—
205	C₂²×#41	—	53	1	no	—
206	C₂³×Q₈	—	106	1	no	—
207	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
209	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
210	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
211	C₂×#117	—	53	1	no	—
212	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
213	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
214	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#417	—	106	8	no	—
216	C₂×#103	—	53	4	no	—
217	C₂×#102	—	53	4	no	—
218	#391	—	53	2	no	—
219	#390	—	53	2	no	—
220	#386	—	106	1	no	—
221	#386	—	106	1	no	—
222	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
223	#340	—	53	8	no	—
224	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
225	C₅₃	#23452	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
226	C₂×#41	—	53	4	no	—
227	C₂×#41	—	106	2	no	—
228	C₂×#41	—	106	4	no	—
229	C₂×#41	—	106	4	no	—
230	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
231	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
232	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
233	C₂²×Q₈	—	212	8	no	—
234	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
235	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
236	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
237	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
238	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
239	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
240	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
242	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
243	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
245	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
247	#117	—	106	4	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
254	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
256	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
257	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
258	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
260	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
261	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
262	#103	—	106	8	no	—
263	#102	—	106	8	no	—
264	#95	—	106	2	no	—
265	#95	—	106	2	no	—
266	C₂⁴	—	106	1	no	—
267	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
268	#41	—	106	16	no	—
269	#41	—	212	8	no	—
270	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
273	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
275	C₂×Q₈	—	212	32	no	—
276	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
277	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
278	C₂×D₄	—	53	2	no	—
279	C₂×D₄	—	106	4	no	—
280	C₂×D₄	—	106	2	no	—
281	C₂×D₄	—	106	1	no	—
282	C₂×D₄	—	106	2	no	—
283	C₂×D₄	—	212	2	no	—
284	C₂×D₄	—	212	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
291	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
295	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
297	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
301	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
302	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	M₁₆	—	4	8	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
311	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	212	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	106	2	no	—
323	C₂³	—	212	1	no	—
324	C₂³	—	212	1	no	—
325	C₂³	—	212	2	no	—
326	C₂³	—	212	2	no	—
327	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
328	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
329	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
331	Q₈	—	106	4	no	—
332	Q₈	—	212	32	no	—
333	Q₈	—	212	2	no	—
334	D₄	—	106	4	no	—
335	D₄	—	212	8	no	—
336	D₄	—	212	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	106	8	no	—
344	C₂×C₄	—	106	2	no	—
345	C₂×C₄	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	—	212	2	no	—
347	C₂×C₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	16	no	—
349	C₂×C₄	—	212	1	no	—
350	C₂×C₄	—	212	1	no	—
351	C₂×C₄	—	212	8	no	—
352	C₂×C₄	—	212	8	no	—
353	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
355	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#13133203	1	8	yes	—
357	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#13133245	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#13133250	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
364	C₈	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	424	1	no	—
370	C₂²	—	424	1	no	—
371	C₂²	—	424	2	no	—
372	C₂²	—	212	4	no	—
373	C₂²	—	212	2	no	—
374	C₂²	#16810536	1	4	yes	—
375	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂×#13133245	1	2	yes	—
379	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	424	2	no	—
383	C₄	—	212	8	no	—
384	C₄	—	212	2	no	—
385	C₄	#16810536	1	4	yes	—
386	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
387	C₄	C₂×#13133203	1	2	yes	—
388	C₂	—	2	4	no	—
389	C₂	—	424	2	no	—
390	C₂	C₂×#16810536	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20283945	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20283952	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#20284531	1	2	yes	—
394	C₂	#20285109	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23452
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133217	C₂	semidirect
4. #20275857	C₂	semidirect
5. #20275852	C₂	semidirect
6. #20274435	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
31. C₂×#11719945	Q₈	semidirect
95. C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	semidirect
106. C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	semidirect
197. #1728	D₅₃	semidirect
225. C₅₃	#23452	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133217	2
C₂×#16810625	2
#20277205	2
#20275857	2
#20275852	2
#20274435	2
C₅₃×#1728	2
#23452	53