Subgroups — #27411404

Order 13568.

1282 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810625	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275867	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275862	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#13133209	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133209	—	2	2	no	—
11	C₂×#13133209	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#11719919	—	2	2	no	—
15	#16810625	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810502	—	2	2	no	—
21	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
22	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
27	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
28	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719945	Q₈	1	4	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
33	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
35	#13133209	—	2	16	no	—
36	#13133209	—	2	16	no	—
37	#13133176	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×#11719919	—	2	16	no	—
44	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
48	#13133142	—	2	8	no	—
49	#13133139	—	2	8	no	—
50	#13133124	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
79	#11719945	—	2	16	no	—
80	#11719945	—	4	8	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
84	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
99	#11719921	—	4	8	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	#11719919	—	2	32	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	8	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
128	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
137	D₂₁₂	—	2	4	no	—
138	D₂₁₂	—	4	2	no	—
139	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
140	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
141	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
142	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
143	#23453	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
148	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#575	1	4	yes	—
152	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
155	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
156	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
157	C₄×C₅₃	#393	1	4	yes	—
158	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
159	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
160	Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	Dic₅₃	—	4	8	no	—
162	Dic₅₃	—	8	2	no	—
163	C₂²×#125	—	53	1	no	—
164	C₂×#417	—	53	2	no	—
165	#2297	—	53	1	no	—
166	#2026	—	53	4	no	—
167	#2025	—	53	4	no	—
168	#1736	—	53	2	no	—
169	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
170	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#3005	1	2	yes	—
173	C₂×C₅₃	#3080	1	2	yes	—
174	C₂×C₅₃	#3142	1	2	yes	—
175	D₅₃	—	8	2	no	—
176	C₂²×#41	—	53	1	no	—
177	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₂×#125	—	53	4	no	—
179	C₂×#125	—	106	8	no	—
180	C₂×#125	—	106	2	no	—
181	C₂×#117	—	53	1	no	—
182	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
183	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
184	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	#417	—	106	8	no	—
186	C₂×#103	—	53	4	no	—
187	C₂×#102	—	53	4	no	—
188	#391	—	53	2	no	—
189	#390	—	53	2	no	—
190	#386	—	106	2	no	—
191	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
192	#340	—	53	8	no	—
193	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
194	C₅₃	#23453	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
195	C₂×#41	—	53	4	no	—
196	C₂×#41	—	106	2	no	—
197	C₂×#41	—	106	4	no	—
198	C₂×#41	—	106	4	no	—
199	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
200	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
201	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
202	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
203	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
204	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
205	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
208	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
210	#125	—	106	16	no	—
211	#125	—	106	16	no	—
212	#117	—	106	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
224	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	#103	—	106	8	no	—
227	#102	—	106	8	no	—
228	#95	—	106	4	no	—
229	C₂⁴	—	106	1	no	—
230	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	106	16	no	—
232	#41	—	212	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
235	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
237	C₂×D₄	—	53	2	no	—
238	C₂×D₄	—	106	4	no	—
239	C₂×D₄	—	106	2	no	—
240	C₂×D₄	—	106	1	no	—
241	C₂×D₄	—	106	2	no	—
242	C₂×D₄	—	212	2	no	—
243	C₂×D₄	—	212	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	M₁₆	—	4	8	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	32	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	212	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	106	2	no	—
277	C₂³	—	212	1	no	—
278	C₂³	—	212	1	no	—
279	C₂³	—	212	4	no	—
280	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
281	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
282	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	106	4	no	—
285	Q₈	—	212	2	no	—
286	D₄	—	106	4	no	—
287	D₄	—	212	8	no	—
288	D₄	—	212	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	106	8	no	—
294	C₂×C₄	—	106	2	no	—
295	C₂×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂×C₄	—	212	4	no	—
297	C₂×C₄	—	212	16	no	—
298	C₂×C₄	—	212	1	no	—
299	C₂×C₄	—	212	1	no	—
300	C₂×C₄	—	212	8	no	—
301	C₂×C₄	—	212	8	no	—
302	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#13133203	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	424	2	no	—
316	C₂²	—	424	2	no	—
317	C₂²	—	212	4	no	—
318	C₂²	—	212	2	no	—
319	C₂²	#16810536	1	4	yes	—
320	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#16811423	1	4	yes	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	424	2	no	—
326	C₄	—	212	8	no	—
327	C₄	—	212	2	no	—
328	C₄	#16810536	1	4	yes	—
329	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
330	C₄	C₂×#13133203	1	2	yes	—
331	C₂	—	2	4	no	—
332	C₂	—	424	2	no	—
333	C₂	C₂×#16810536	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#20283960	1	2	yes	—
335	C₂	#20284538	1	2	yes	—
336	C₂	#20285116	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23453
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133209	C₂	semidirect
4. #20275867	C₂	semidirect
5. #20275862	C₂	semidirect
6. #20274435	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
169. #1728	D₅₃	semidirect
194. C₅₃	#23453	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133209	2
C₂×#16810625	2
#20277205	2
#20275867	2
#20275862	2
#20274435	2
C₅₃×#1728	2
#23453	53