Subgroups — #27411411

Order 13568.

1482 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810629	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275862	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275852	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#16811180	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	complemented
11	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	complemented
12	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#11719921	—	2	2	no	—
17	#16810629	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133139	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810525	—	2	2	no	—
20	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810386	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂⁴×D₅₃	—	2	1	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	Q₈	1	4	yes	complemented
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	#13133217	—	2	8	no	—
37	#13133209	—	2	8	no	—
38	#13133196	—	2	16	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
40	#13133176	—	2	4	no	—
41	#13133176	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
51	C₂×#11719921	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	#13133139	—	2	16	no	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
98	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
106	#11719921	—	4	8	no	—
107	#11719921	—	4	8	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
113	#11719919	—	2	16	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	8	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
153	D₂₁₂	—	2	8	no	—
154	D₂₁₂	—	4	4	no	—
155	D₂₁₂	—	4	8	no	—
156	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
157	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
158	#23454	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
168	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
169	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
170	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
171	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₄×C₅₃	#393	1	4	yes	—
178	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
179	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	4	8	no	—
181	Dic₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂×#533	—	53	1	no	—
183	C₂×#418	—	53	2	no	—
184	C₂×#390	—	53	1	no	—
185	#2025	—	53	4	no	—
186	#2023	—	53	4	no	—
187	#1736	—	53	2	no	—
188	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
189	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
190	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#3006	1	2	yes	—
192	C₂×C₅₃	#3077	1	2	yes	—
193	C₂×C₅₃	#3138	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3140	1	1	yes	characteristic
195	D₅₃	—	8	4	no	—
196	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
197	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
198	#533	—	106	8	no	—
199	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
200	C₂×#125	—	53	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
202	C₂×C₄×Q₈	—	106	2	no	—
203	C₂×#117	—	53	2	no	—
204	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
205	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
206	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#418	—	106	8	no	—
208	C₂×#102	—	53	8	no	—
209	#390	—	53	2	no	—
210	#390	—	53	2	no	—
211	#390	—	106	2	no	—
212	#340	—	53	8	no	—
213	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
214	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
215	C₅₃	#23454	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
216	C₂⁵	—	106	1	no	—
217	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
218	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
219	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
220	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
221	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
222	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
223	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
224	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
225	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
226	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
228	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
229	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
232	#125	—	106	8	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
234	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
235	#117	—	53	8	no	—
236	#117	—	106	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
247	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
249	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
250	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	#102	—	106	16	no	—
253	C₂⁴	—	106	4	no	—
254	C₂⁴	—	106	2	no	—
255	C₂⁴	—	212	4	no	—
256	C₂⁴	—	212	4	no	—
257	C₂⁴	—	212	2	no	—
258	C₂⁴	—	212	2	no	—
259	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
260	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
261	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
263	C₂×D₄	—	53	4	no	—
264	C₂×D₄	—	106	16	no	—
265	C₂×D₄	—	106	4	no	—
266	C₂×D₄	—	106	4	no	—
267	C₂×D₄	—	106	2	no	—
268	C₂×D₄	—	106	4	no	—
269	C₂×D₄	—	212	2	no	—
270	C₂×D₄	—	212	8	no	—
271	C₂×D₄	—	212	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
279	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	4	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	106	8	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	106	4	no	—
307	C₂³	—	424	8	no	—
308	C₂³	—	424	4	no	—
309	C₂³	—	424	4	no	—
310	C₂³	—	212	16	no	—
311	C₂³	—	212	8	no	—
312	C₂³	—	212	2	no	—
313	C₂³	—	212	2	no	—
314	C₂³	—	212	4	no	—
315	C₂³	—	212	4	no	—
316	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
317	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
318	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	212	16	no	—
321	D₄	—	106	8	no	—
322	D₄	—	212	8	no	—
323	D₄	—	212	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	106	8	no	—
331	C₂×C₄	—	424	4	no	—
332	C₂×C₄	—	212	2	no	—
333	C₂×C₄	—	212	4	no	—
334	C₂×C₄	—	212	4	no	—
335	C₂×C₄	—	212	4	no	—
336	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#13133203	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#13133245	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	424	16	no	—
352	C₂²	—	424	4	no	—
353	C₂²	—	424	2	no	—
354	C₂²	—	424	2	no	—
355	C₂²	—	212	8	no	—
356	C₂²	—	212	4	no	—
357	C₂²	#16810536	1	4	yes	—
358	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#13133245	1	2	yes	—
362	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	424	2	no	—
366	C₄	—	212	8	no	—
367	C₄	#16810536	1	4	yes	—
368	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
369	C₄	C₂×#13133203	1	2	yes	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	424	4	no	—
372	C₂	C₂×#16810536	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20283969	1	2	yes	—
374	C₂	#20284514	1	2	yes	—
375	C₂	#20285090	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20285102	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23454
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811180	C₂	semidirect
4. #20275862	C₂	semidirect
5. #20275852	C₂	semidirect
6. #20274435	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
10. C₂×#13133217	C₂²	semidirect
11. C₂×#13133209	C₂²	semidirect
22. #16810386	C₂²	semidirect
25. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
26. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
33. C₂²×D₂₁₂	Q₈	semidirect
188. #1728	D₅₃	semidirect
213. #336	C₂×D₅₃	semidirect
214. #336	C₂×D₅₃	semidirect
215. C₅₃	#23454	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811180	2
C₂×#16810629	2
C₂×#16810525	2
#20275862	2
#20275852	2
#20274435	2
C₅₃×#1728	2
#23454	53