Subgroups — #27411413

Order 13568.

1266 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810631	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16810529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275863	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275853	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274436	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×C₅₃×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16810631	—	2	8	no	—
12	C₂×#13133140	C₂²	1	8	yes	—
13	#16810529	—	2	2	no	—
14	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
17	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
18	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
20	C₅₃×#533	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
25	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	1	4	yes	complemented
32	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
34	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
36	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
37	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133140	—	2	16	no	—
43	#13133124	—	2	4	no	—
44	#13133124	—	2	4	no	—
45	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
49	#125×C₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
51	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
52	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
53	#117×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
65	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	#11719917	—	4	8	no	—
107	C₂×#88322	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
116	Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
143	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
144	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
145	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
146	#88322	—	4	4	no	—
147	#23455	—	53	1	no	maximal, Sylow
148	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
157	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
158	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
160	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
161	C₄×C₅₃	#393	1	4	yes	—
162	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
163	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
164	Dic₅₃	—	4	4	no	—
165	Dic₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂×#533	D₅₃	1	1	yes	characteristic
167	C₂×#419	—	53	2	no	—
168	C₂×#391	—	53	1	no	—
169	#2026	—	53	4	no	—
170	#2024	—	53	4	no	—
171	#1736	—	53	2	no	—
172	#1728	—	53	1	no	—
173	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
174	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3007	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#3078	1	2	yes	—
177	C₂×C₅₃	#3139	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#3140	1	1	yes	characteristic
179	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
180	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
181	#533	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
188	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#419	—	106	8	no	—
190	C₂×#103	—	53	8	no	—
191	#391	—	53	2	no	—
192	#391	—	53	2	no	—
193	#391	—	106	2	no	—
194	C₂×#95	—	106	2	no	—
195	#340	—	53	8	no	—
196	#336	—	53	2	no	—
197	#336	—	53	2	no	—
198	C₅₃	#23455	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
199	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
201	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
203	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
204	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
205	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
206	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
207	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
208	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
211	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
212	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
213	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
214	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
215	#125	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
217	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
218	#117	—	2	4	no	—
219	#117	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	#103	—	106	16	no	—
233	#95	—	106	4	no	—
234	#95	—	106	4	no	—
235	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
243	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
259	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	M₁₆	—	212	8	no	—
268	C₂×C₈	—	106	4	no	—
269	C₂×C₈	—	106	4	no	—
270	C₂×C₈	—	106	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
276	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	#13133186	1	2	yes	—
285	C₂³	#13133193	1	2	yes	—
286	C₂³	#13133206	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	4	16	no	—
289	Q₈	—	106	8	no	—
290	Q₈	—	212	8	no	—
291	Q₈	—	212	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	106	4	no	—
302	C₂×C₄	—	424	4	no	—
303	C₂×C₄	—	212	2	no	—
304	C₂×C₄	—	212	4	no	—
305	C₂×C₄	—	212	8	no	—
306	C₂×C₄	—	212	2	no	—
307	C₂×C₄	—	212	2	no	—
308	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#13133193	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#13133206	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	#13133247	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
318	C₈	—	212	4	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	#16810534	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#13133247	1	2	yes	—
328	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	8	no	—
332	C₄	—	424	2	no	—
333	C₄	—	212	4	no	—
334	C₄	#16810534	1	4	yes	—
335	C₄	C₂×#13133193	1	2	yes	—
336	C₄	C₂×#13133206	1	2	yes	—
337	C₂	—	2	4	no	—
338	C₂	C₂×#16810534	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#20283975	1	2	yes	—
340	C₂	#20284516	1	2	yes	—
341	C₂	#20285097	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#20285104	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#533	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂×#533	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23455
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#533

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275863	C₂	semidirect
4. #20275853	C₂	semidirect
31. C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	semidirect
198. C₅₃	#23455	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810631	2
C₂×#16810529	2
#20275863	2
#20275853	2
#20274436	2
#20274409	2
C₂×C₅₃×#533	2
#23455	53