Subgroups — #27411418

Order 13568.

1266 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810633	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275867	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275857	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274435	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#16811180	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810633	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
18	#16810529	—	2	2	no	—
19	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
22	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	1	4	yes	complemented
33	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
35	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	#13133217	—	2	8	no	—
37	#13133209	—	2	8	no	—
38	#13133196	—	2	16	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
40	#13133176	—	2	4	no	—
41	#13133176	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	#13133142	—	2	16	no	—
51	#13133124	—	2	4	no	—
52	#13133124	—	2	4	no	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	#11719919	—	2	16	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	8	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
142	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
143	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
144	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
145	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
146	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
147	#23455	—	53	1	no	maximal, Sylow
148	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
157	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
158	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
160	C₄×C₅₃	#393	1	4	yes	—
161	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
162	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
163	Dic₅₃	—	4	4	no	—
164	Dic₅₃	—	4	8	no	—
165	Dic₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂×#533	—	53	1	no	—
167	C₂×#419	—	53	2	no	—
168	C₂×#391	—	53	1	no	—
169	#2026	—	53	4	no	—
170	#2024	—	53	4	no	—
171	#1736	—	53	2	no	—
172	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
174	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3007	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#3078	1	2	yes	—
177	C₂×C₅₃	#3139	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#3140	1	1	yes	characteristic
179	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
180	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
181	#533	—	106	8	no	—
182	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
183	C₂×#125	—	53	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
185	C₂×C₄×Q₈	—	106	2	no	—
186	C₂×#117	—	53	2	no	—
187	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
188	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#419	—	106	8	no	—
190	C₂×#103	—	53	8	no	—
191	#391	—	53	2	no	—
192	#391	—	53	2	no	—
193	#391	—	106	2	no	—
194	C₂×#95	—	106	2	no	—
195	#340	—	53	8	no	—
196	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
198	C₅₃	#23455	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
199	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
200	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
201	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
203	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
204	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
205	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
206	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
207	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
208	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
211	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
212	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
214	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
215	#125	—	106	8	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
217	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
218	#117	—	53	8	no	—
219	#117	—	106	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
229	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	#103	—	106	16	no	—
233	#95	—	106	4	no	—
234	#95	—	106	4	no	—
235	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
241	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
259	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	M₁₆	—	4	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	106	8	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
285	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
286	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	106	8	no	—
289	Q₈	—	212	16	no	—
290	Q₈	—	212	8	no	—
291	Q₈	—	212	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	106	8	no	—
299	C₂×C₄	—	106	4	no	—
300	C₂×C₄	—	424	4	no	—
301	C₂×C₄	—	212	2	no	—
302	C₂×C₄	—	212	4	no	—
303	C₂×C₄	—	212	8	no	—
304	C₂×C₄	—	212	2	no	—
305	C₂×C₄	—	212	2	no	—
306	C₂×C₄	—	212	4	no	—
307	C₂×C₄	—	212	4	no	—
308	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#13133203	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#13133250	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
318	C₈	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	#16810536	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
328	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	424	2	no	—
332	C₄	—	212	8	no	—
333	C₄	—	212	4	no	—
334	C₄	#16810536	1	4	yes	—
335	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
336	C₄	C₂×#13133203	1	2	yes	—
337	C₂	—	2	4	no	—
338	C₂	C₂×#16810536	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#20283977	1	2	yes	—
340	C₂	#20284522	1	2	yes	—
341	C₂	#20285096	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#20285102	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23455
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20275867	C₂	semidirect
5. #20275857	C₂	semidirect
32. C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	semidirect
198. C₅₃	#23455	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811180	2
C₂×#16810633	2
C₂×#16810529	2
#20275867	2
#20275857	2
#20274435	2
C₅₃×#1728	2
#23455	53