Subgroups — #27411475

Order 13568.

1306 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810627	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275868	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20274454	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274424	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#3458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#16810627	—	2	4	no	—
11	#16810627	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×#13133137	—	2	4	no	—
13	#16810525	—	2	2	no	—
14	#16810524	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810478	—	2	2	no	—
16	#16810392	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#16810382	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₅₃×#544	—	2	4	no	—
19	C₅₃×#544	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₅₃×#543	—	2	2	no	—
21	C₅₃×#533	—	2	4	no	—
22	C₅₃×#533	—	2	2	no	—
23	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	1	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	Q₈	1	4	yes	complemented
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
36	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
38	#13133176	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
43	#13133137	—	2	16	no	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
46	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
47	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
48	#125×C₅₃	—	2	8	no	—
49	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
50	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
51	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
52	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
53	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
54	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
55	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
56	#117×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
57	#117×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	8	4	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	#11719921	—	8	8	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	#11719917	—	2	4	no	—
110	#11719917	—	2	4	no	—
111	#11719917	—	4	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	4	no	—
113	C₂×#88322	—	4	4	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
127	Q₈×C₅₃	—	8	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	D₂₁₂	—	2	8	no	—
147	D₂₁₂	—	4	4	no	—
148	D₂₁₂	—	4	4	no	—
149	D₂₁₂	—	4	4	no	—
150	#88322	—	4	4	no	—
151	#23463	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
160	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
161	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
165	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
166	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
167	C₄×C₅₃	#393	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	#393	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
171	Dic₅₃	—	8	2	no	—
172	#3458	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
173	C₂×#418	—	53	2	no	—
174	#2309	—	53	1	no	—
175	#2027	—	53	8	no	—
176	#1742	—	53	1	no	—
177	#1733	—	53	2	no	—
178	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
179	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3021	1	2	yes	—
183	D₅₃	—	8	4	no	—
184	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
185	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
186	#544	—	2	4	no	—
187	#544	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
188	#543	—	2	2	no	—
189	#533	—	2	4	no	—
190	#533	—	2	2	no	—
191	C₂×#117	—	53	1	no	—
192	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	#418	—	53	8	no	—
195	#418	—	106	4	no	—
196	C₂×#102	—	106	4	no	—
197	#390	—	53	4	no	—
198	#390	—	106	2	no	—
199	#379	—	106	2	no	—
200	#343	—	53	4	no	—
201	#339	—	53	8	no	—
202	C₅₃	#23463	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂⁵	—	106	1	no	—
204	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
205	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
206	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
207	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
208	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
209	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
210	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
211	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
213	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
214	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
215	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
216	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
217	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
218	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
219	#125	—	2	4	no	—
220	#125	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
222	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
223	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
224	#117	—	2	2	no	—
225	#117	—	2	2	no	—
226	#117	—	2	2	no	—
227	#117	—	2	2	no	—
228	#117	—	106	4	no	—
229	#117	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
230	#117	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
233	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
238	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
241	#102	—	106	16	no	—
242	C₂⁴	—	106	4	no	—
243	C₂⁴	—	106	2	no	—
244	C₂⁴	—	424	4	no	—
245	C₂⁴	—	212	2	no	—
246	C₂⁴	—	212	2	no	—
247	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	53	4	no	—
250	C₂×D₄	—	106	8	no	—
251	C₂×D₄	—	106	8	no	—
252	C₂×D₄	—	106	4	no	—
253	C₂×D₄	—	106	4	no	—
254	C₂×D₄	—	106	4	no	—
255	C₂×D₄	—	106	2	no	—
256	C₂×D₄	—	212	1	no	—
257	C₂×D₄	—	212	1	no	—
258	C₂×D₄	—	212	2	no	—
259	C₂×D₄	—	212	4	no	—
260	C₂×D₄	—	212	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
263	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	M₁₆	—	106	4	no	—
272	M₁₆	—	106	4	no	—
273	M₁₆	—	212	4	no	—
274	C₂×C₈	—	106	4	no	—
275	C₂×C₈	—	212	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
281	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	424	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	106	4	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	106	4	no	—
294	C₂³	—	424	8	no	—
295	C₂³	—	424	8	no	—
296	C₂³	—	424	8	no	—
297	C₂³	—	212	8	no	—
298	C₂³	—	212	8	no	—
299	C₂³	—	212	2	no	—
300	C₂³	—	212	2	no	—
301	C₂³	#13133186	1	2	yes	—
302	C₂³	#13133193	1	2	yes	—
303	C₂³	#13133206	1	2	yes	—
304	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	8	8	no	—
306	D₄	—	106	8	no	—
307	D₄	—	212	4	no	—
308	D₄	—	212	4	no	—
309	D₄	—	212	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	212	4	no	—
315	C₂×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#13133206	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#13133206	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	212	4	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	424	16	no	—
334	C₂²	—	424	4	no	—
335	C₂²	—	424	4	no	—
336	C₂²	—	212	8	no	—
337	C₂²	—	212	4	no	—
338	C₂²	#16810534	1	4	yes	—
339	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	4	8	no	—
344	C₄	—	424	2	no	—
345	C₄	#16810534	1	2	yes	—
346	C₄	#16810534	1	2	yes	—
347	C₄	C₂×#13133193	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×#13133206	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	1	no	—
350	C₂	—	2	4	no	—
351	C₂	—	2	1	no	—
352	C₂	—	424	4	no	—
353	C₂	C₂×#16810534	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20284087	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133186
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3458	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
hypercenter	#3458	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23463
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #3458

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275868	C₂	semidirect
4. #20274454	C₂	semidirect
5. #20274424	C₂	semidirect
6. C₅₃×#3458	C₂	semidirect
16. #16810392	C₂²	semidirect
17. #16810382	C₂²	semidirect
19. C₅₃×#544	C₂²	semidirect
31. C₂²×D₂₁₂	Q₈	semidirect
172. #3458	D₅₃	semidirect
187. #544	C₂×D₅₃	semidirect
202. C₅₃	#23463	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810627	2
#20277295	2
#20275868	2
#20274454	2
#20274424	2
C₅₃×#3458	2
#23463	53