Subgroups — #27411485

Order 13568.

1146 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810633	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277299	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275877	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274426	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₅₃×#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#16811254	C₂²	1	4	yes	—
9	#16811251	—	2	4	no	—
10	#16811249	—	2	2	no	—
11	#16811180	—	2	2	no	—
12	#16811176	—	2	4	no	—
13	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810633	—	2	4	no	—
16	#16810633	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#13133142	—	2	4	no	—
18	#16810529	—	2	2	no	—
19	#16810528	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810484	—	2	2	no	—
21	#16810384	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#343	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	1	4	yes	complemented
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
33	#13133217	—	2	4	no	—
34	#13133216	—	2	8	no	—
35	#13133209	—	2	4	no	—
36	#13133208	—	2	8	no	—
37	#13133196	—	2	8	no	—
38	#13133194	—	2	16	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
40	#13133176	—	2	2	no	—
41	#13133176	—	2	2	no	—
42	#13133176	—	2	4	no	—
43	#13133176	D₄	1	4	yes	—
44	#13133176	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	#13133142	—	2	16	no	—
52	#13133124	—	2	8	no	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
59	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
60	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
92	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
93	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
94	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	#11719919	—	2	16	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
139	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
140	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
141	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
142	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
143	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
144	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
145	#23464	—	53	1	no	maximal, Sylow
146	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	#393	1	4	yes	—
151	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
155	C₄×C₅₃	#393	1	2	yes	—
156	C₄×C₅₃	#393	1	2	yes	—
157	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	2	yes	—
159	Dic₅₃	—	4	4	no	—
160	Dic₅₃	—	4	8	no	—
161	Dic₅₃	—	8	2	no	—
162	#3458	—	53	1	no	—
163	C₂×#419	—	53	2	no	—
164	#2310	—	53	1	no	—
165	#2028	—	53	8	no	—
166	#1742	D₅₃	1	1	yes	characteristic
167	#1733	—	53	2	no	—
168	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×C₅₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#3022	1	2	yes	—
173	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
174	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	#544	—	53	4	no	—
176	#544	—	106	4	no	—
177	#543	—	106	2	no	—
178	#533	—	106	4	no	—
179	#533	—	106	2	no	—
180	C₂×#117	—	53	1	no	—
181	C₂×#117	—	53	2	no	—
182	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	#419	—	53	8	no	—
184	#419	—	106	4	no	—
185	C₂×#103	—	106	4	no	—
186	#391	—	53	4	no	—
187	#391	—	106	2	no	—
188	#381	—	106	2	no	—
189	#343	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
190	#339	—	53	8	no	—
191	C₅₃	#23464	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
192	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
193	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
194	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
195	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
196	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
197	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
198	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
199	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
200	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
202	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
203	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
204	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
205	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
207	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
208	#125	—	106	4	no	—
209	#125	—	106	8	no	—
210	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
211	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
212	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
213	#117	—	2	2	no	—
214	#117	—	2	2	no	—
215	#117	—	53	4	no	—
216	#117	—	53	4	no	—
217	#117	—	106	2	no	—
218	#117	—	106	2	no	—
219	#117	—	106	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
228	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
229	#103	—	106	16	no	—
230	#95	—	106	8	no	—
231	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
232	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
241	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
242	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	106	4	no	—
277	C₄²	—	106	4	no	—
278	C₄²	—	106	4	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
281	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
282	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	106	8	no	—
285	Q₈	—	424	8	no	—
286	Q₈	—	212	4	no	—
287	Q₈	—	212	4	no	—
288	Q₈	—	212	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	106	8	no	—
292	C₂×C₄	—	106	4	no	—
293	C₂×C₄	—	424	4	no	—
294	C₂×C₄	—	212	4	no	—
295	C₂×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂×C₄	—	212	8	no	—
297	C₂×C₄	—	212	2	no	—
298	C₂×C₄	—	212	2	no	—
299	C₂×C₄	#13133187	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#13133187	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#13133195	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#13133195	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#13133203	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#13133203	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	#16810536	1	4	yes	—
317	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	4	4	no	—
321	C₄	—	424	2	no	—
322	C₄	—	212	4	no	—
323	C₄	—	212	8	no	—
324	C₄	#16810536	1	2	yes	—
325	C₄	#16810536	1	2	yes	—
326	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
327	C₄	C₂×#13133203	1	2	yes	—
328	C₂	—	2	1	no	—
329	C₂	—	2	4	no	—
330	C₂	—	2	1	no	—
331	C₂	C₂×#16810536	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20284096	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133187
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1742	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#1742	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23464
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #1742

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20275877	C₂	semidirect
30. C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	semidirect
191. C₅₃	#23464	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288120	2
C₂×#16810633	2
#20277299	2
#20275877	2
#20274426	2
C₅₃×#1742	2
#23464	53