Subgroups — C₂×#20275971 #27411876

Order 13568.

1586 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#13133133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275971	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#16810388	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₅₃×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×D₄₂₄	—	2	8	no	—
9	C₂²×D₄₂₄	—	2	2	no	—
10	C₂²×D₄₂₄	—	2	2	no	—
11	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810627	—	2	4	no	—
14	#16810627	C₂²	1	8	yes	complemented
15	C₂×#13133137	—	2	4	no	—
16	C₂×#13133133	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133133	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#16810388	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₅₃×#424	—	2	2	no	—
23	C₅₃×#424	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	8	yes	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×D₄₂₄	—	2	16	no	—
37	C₂×D₄₂₄	—	2	16	no	—
38	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
39	C₂×D₄₂₄	—	2	16	no	—
40	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
41	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
42	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
45	#13133137	—	2	16	no	—
46	#13133133	—	2	16	no	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
49	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
57	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
58	#117×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
63	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	8	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
99	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
112	#11719917	—	2	4	no	—
113	#11719917	—	2	4	no	—
114	#11719917	—	4	4	no	—
115	C₂×#88322	—	2	4	no	—
116	C₂×#88322	—	4	4	no	—
117	D₄₂₄	—	2	32	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₅₃	#123	1	4	yes	—
122	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
148	D₂₁₂	—	2	8	no	—
149	D₂₁₂	—	2	8	no	—
150	D₂₁₂	—	4	4	no	—
151	D₂₁₂	—	4	4	no	—
152	D₂₁₂	—	4	8	no	—
153	D₂₁₂	—	4	8	no	—
154	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
156	#88322	—	4	4	no	—
157	C₂×#2045	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₅₃	#394	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#394	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#472	1	4	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
166	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
168	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
169	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
171	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
172	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
173	C₄×C₅₃	#394	1	2	yes	—
174	C₄×C₅₃	#394	1	2	yes	—
175	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
177	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
178	C₂³×D₈	—	53	1	no	—
179	C₂×#424	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
180	C₂×#418	—	53	2	no	—
181	C₂²×#100	—	53	2	no	—
182	#2045	—	53	8	no	—
183	C₂×#341	—	53	1	no	—
184	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
185	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₂×C₅₃	#2045	1	4	yes	complemented
187	C₂×C₅₃	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	2	yes	—
189	D₅₃	—	8	8	no	—
190	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
191	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
192	C₂²×D₈	—	106	8	no	—
193	C₂²×D₈	—	106	2	no	—
194	C₂²×D₈	—	106	2	no	—
195	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
196	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#424	—	2	2	no	—
200	#424	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
201	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
202	#418	—	53	8	no	—
203	#418	—	106	4	no	—
204	C₂×#102	—	106	4	no	—
205	C₂×#100	—	53	8	no	—
206	C₂×#100	—	106	8	no	—
207	#341	—	53	4	no	—
208	C₅₃	C₂×#2045	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂⁵	—	106	2	no	—
210	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
211	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
212	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
213	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
214	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
215	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
216	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
217	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
218	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
220	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×D₈	—	106	16	no	—
222	C₂×D₈	—	106	16	no	—
223	C₂×D₈	—	106	16	no	—
224	C₂×D₈	—	106	8	no	—
225	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
226	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
227	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
228	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
229	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
230	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
231	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
235	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
237	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
238	#117	—	2	1	no	—
239	#117	—	2	1	no	—
240	#117	D₂₁₂	1	2	yes	—
241	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
246	#102	—	106	16	no	—
247	#100	—	106	16	no	—
248	C₂⁴	—	106	8	no	—
249	C₂⁴	—	106	4	no	—
250	C₂⁴	—	424	8	no	—
251	C₂⁴	—	212	2	no	—
252	C₂⁴	—	212	2	no	—
253	C₂⁴	—	212	4	no	—
254	C₂⁴	#11719945	1	1	yes	characteristic
255	C₂×D₄	—	53	8	no	—
256	C₂×D₄	—	106	8	no	—
257	C₂×D₄	—	106	8	no	—
258	C₂×D₄	—	106	8	no	—
259	C₂×D₄	—	106	8	no	—
260	C₂×D₄	—	106	8	no	—
261	C₂×D₄	—	106	4	no	—
262	C₂×D₄	—	106	4	no	—
263	C₂×D₄	—	106	4	no	—
264	C₂×D₄	—	106	4	no	—
265	C₂×D₄	—	106	4	no	—
266	C₂×D₄	—	212	2	no	—
267	C₂×D₄	—	212	2	no	—
268	C₂×D₄	—	212	4	no	—
269	C₂×D₄	—	212	4	no	—
270	C₂×D₄	—	212	4	no	—
271	C₂×D₄	—	212	4	no	—
272	C₂×D₄	—	212	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	D₈	—	106	32	no	—
283	M₁₆	—	2	4	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	106	4	no	—
286	M₁₆	—	106	4	no	—
287	M₁₆	—	212	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	106	4	no	—
294	C₂×C₈	—	212	4	no	—
295	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	106	8	no	—
304	C₂³	—	424	16	no	—
305	C₂³	—	424	8	no	—
306	C₂³	—	424	16	no	—
307	C₂³	—	424	8	no	—
308	C₂³	—	424	8	no	—
309	C₂³	—	212	8	no	—
310	C₂³	—	212	8	no	—
311	C₂³	—	212	4	no	—
312	C₂³	—	212	4	no	—
313	C₂³	#13133191	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	#13133191	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#13133202	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
317	D₄	—	106	8	no	—
318	D₄	—	106	8	no	—
319	D₄	—	212	8	no	—
320	D₄	—	212	8	no	—
321	D₄	—	212	4	no	—
322	D₄	—	212	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#13133191	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#13133191	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#13133192	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#13133192	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#13133202	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	212	4	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	424	8	no	—
345	C₂²	—	424	16	no	—
346	C₂²	—	424	8	no	—
347	C₂²	—	424	16	no	—
348	C₂²	—	424	8	no	—
349	C₂²	—	212	8	no	—
350	C₂²	#16810540	1	2	yes	—
351	C₂²	#16810540	1	2	yes	—
352	C₂²	#16810893	1	4	yes	—
353	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#13133202	1	2	yes	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	#16810540	1	2	yes	—
357	C₄	#16810540	1	2	yes	—
358	C₄	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#13133192	1	2	yes	—
360	C₄	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	2	2	no	—
363	C₂	—	424	8	no	—
364	C₂	#20275971	1	4	yes	direct product factor
365	C₂	C₂×#16810540	1	1	yes	characteristic
366	C₂	C₂×#16810893	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	#13133191
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#424	C₂
socle	C₂³×C₅₃	#121
prime radical	C₂³×D₄₂₄	C₂
hypercenter	C₂×#424	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#2045
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#424

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810627	C₂	semidirect
3. C₂²×#13133133	C₂	semidirect
4. #20275971	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#16810388	C₂	semidirect
6. C₂×C₅₃×#424	C₂	semidirect
14. #16810627	C₂²	semidirect
17. C₂×#13133133	C₂²	semidirect
18. #16810388	C₂²	semidirect
23. C₅₃×#424	C₂²	semidirect
179. C₂×#424	D₅₃	semidirect
186. C₂×C₅₃	#2045	semidirect
200. #424	C₂×D₅₃	semidirect
208. C₅₃	C₂×#2045	semidirect
364. C₂	#20275971	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×D₄₂₄	2
C₂×#16810627	2
C₂²×#13133133	2
#20275971	2
C₂×#16810388	2
C₂×C₅₃×#424	2
C₂×#2045	53

Subgroups — C2×#20275971 #27411876

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20275971 #27411876