Subgroups — #27412049

Order 13568.

1682 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810629	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20277295	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276026	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×C₅₃×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×D₄₂₄	—	2	8	no	—
9	C₂²×D₄₂₄	—	2	4	no	—
10	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
12	#16810629	—	2	8	no	—
13	C₂×#13133139	C₂²	1	8	yes	complemented
14	#16810525	C₂²	1	8	yes	complemented
15	#16810524	—	2	4	no	—
16	#16810478	—	2	4	no	—
17	#16810386	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₅₃×#424	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
25	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	8	yes	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×D₄₂₄	—	2	32	no	—
33	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
34	C₂×D₄₂₄	—	2	16	no	—
35	#13133176	—	2	4	no	—
36	#13133176	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	16	no	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	#13133139	—	2	16	no	—
42	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
50	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
55	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
59	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	8	8	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
70	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
77	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
81	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
82	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
93	#11719921	—	8	16	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
97	D₄₂₄	—	2	32	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
100	C₂³×C₅₃	#121	1	4	yes	—
101	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
123	D₂₁₂	—	2	8	no	—
124	D₂₁₂	—	2	8	no	—
125	D₂₁₂	—	4	4	no	—
126	D₂₁₂	—	4	4	no	—
127	D₂₁₂	—	4	16	no	—
128	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
130	#23540	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₅₃	#394	1	4	yes	—
134	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
136	C₂²×C₅₃	#576	1	4	yes	—
137	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
138	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
139	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
140	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
141	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
142	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
143	C₄×C₅₃	#394	1	4	yes	—
144	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
145	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
146	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
147	Dic₅₃	—	8	4	no	—
148	C₂³×D₈	—	53	1	no	—
149	C₂×#424	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
150	C₂×#418	—	53	2	no	—
151	#2309	—	53	2	no	—
152	#2054	—	53	8	no	—
153	#1735	—	53	1	no	—
154	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂×C₅₃	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	#3041	1	4	yes	—
157	C₂×C₅₃	#3058	1	2	yes	—
158	D₅₃	—	8	8	no	—
159	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
160	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
161	C₂²×D₈	—	106	8	no	—
162	C₂²×D₈	—	106	4	no	—
163	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂×#117	—	53	2	no	—
166	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
167	#424	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
169	#418	—	106	8	no	—
170	C₂×#102	—	53	8	no	—
171	#390	—	53	8	no	—
172	#390	—	106	4	no	—
173	#379	—	106	4	no	—
174	#340	—	53	4	no	—
175	C₅₃	#23540	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
176	C₂⁵	—	106	2	no	—
177	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
178	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
179	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
180	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
181	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
182	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
183	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
184	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
185	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×D₈	—	106	16	no	—
187	C₂×D₈	—	106	32	no	—
188	C₂×D₈	—	106	8	no	—
189	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
190	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
193	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	106	4	no	—
198	#117	—	106	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
205	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
207	#102	—	106	16	no	—
208	C₂⁴	—	106	8	no	—
209	C₂⁴	—	106	4	no	—
210	C₂⁴	—	424	8	no	—
211	C₂⁴	—	212	4	no	—
212	C₂⁴	—	212	4	no	—
213	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
214	C₂×D₄	—	53	8	no	—
215	C₂×D₄	—	106	16	no	—
216	C₂×D₄	—	106	8	no	—
217	C₂×D₄	—	106	16	no	—
218	C₂×D₄	—	106	4	no	—
219	C₂×D₄	—	106	4	no	—
220	C₂×D₄	—	106	4	no	—
221	C₂×D₄	—	106	4	no	—
222	C₂×D₄	—	106	4	no	—
223	C₂×D₄	—	212	4	no	—
224	C₂×D₄	—	212	4	no	—
225	C₂×D₄	—	212	8	no	—
226	C₂×D₄	—	212	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	D₈	—	106	32	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	424	16	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	212	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	106	8	no	—
253	C₂³	—	424	16	no	—
254	C₂³	—	424	16	no	—
255	C₂³	—	424	16	no	—
256	C₂³	—	212	16	no	—
257	C₂³	—	212	4	no	—
258	C₂³	—	212	4	no	—
259	C₂³	—	212	16	no	—
260	C₂³	#13133191	1	2	yes	—
261	C₂³	#13133192	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
263	D₄	—	106	8	no	—
264	D₄	—	106	8	no	—
265	D₄	—	212	16	no	—
266	D₄	—	212	4	no	—
267	D₄	—	212	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	212	4	no	—
271	C₂×C₄	—	212	8	no	—
272	C₂×C₄	#13133185	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#13133192	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	#13133202	1	8	yes	—
276	C₂×C₄	#13133206	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
281	C₈	—	2	4	no	—
282	C₈	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	2	8	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	424	32	no	—
286	C₂²	—	424	8	no	—
287	C₂²	—	424	8	no	—
288	C₂²	—	212	16	no	—
289	C₂²	—	212	8	no	—
290	C₂²	#16810540	1	4	yes	—
291	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#13133192	1	2	yes	—
293	C₂²	#16811428	1	4	yes	—
294	C₄	—	4	4	no	—
295	C₄	—	424	4	no	—
296	C₄	#16810540	1	4	yes	—
297	C₄	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
298	C₄	C₂×#13133202	1	2	yes	—
299	C₄	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
300	C₂	—	2	4	no	—
301	C₂	—	424	8	no	—
302	C₂	C₂×#16810540	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#20284219	1	4	yes	—
304	C₂	#20284363	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#424	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₄₂₄	C₂
hypercenter	C₂×#424	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23540
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#424

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810629	C₂	semidirect
3. #20277295	C₂	semidirect
4. #20276026	C₂	semidirect
5. #20274432	C₂	semidirect
6. C₂×C₅₃×#424	C₂	semidirect
13. C₂×#13133139	C₂²	semidirect
14. #16810525	C₂²	semidirect
17. #16810386	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
149. C₂×#424	D₅₃	semidirect
168. C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	semidirect
175. C₅₃	#23540	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×D₄₂₄	2
C₂×#16810629	2
#20277295	2
#20276026	2
#20274432	2
C₂×C₅₃×#424	2
#23540	53