Subgroups — #27412136

Order 13568.

1154 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810661	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276054	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276049	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276044	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274432	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×C₅₃×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#16811180	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16810661	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133151	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133149	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810496	—	2	2	no	—
23	C₄×#11719919	—	2	2	no	—
24	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
32	#13133217	—	2	8	no	—
33	#13133209	—	2	8	no	—
34	#13133196	—	2	16	no	—
35	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
36	#13133176	—	2	4	no	—
37	#13133176	—	2	4	no	—
38	#13133176	—	2	2	no	—
39	#13133176	D₄	1	8	yes	—
40	#13133176	Q₈	1	4	yes	complemented
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
46	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
54	#13133151	—	2	8	no	—
55	#13133149	—	2	8	no	—
56	#13133124	—	2	2	no	—
57	#13133124	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	1	8	yes	complemented
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	16	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
93	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
98	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
105	C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	#11719919	—	2	16	no	—
107	#11719919	—	4	4	no	—
108	#11719919	—	4	4	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
144	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
146	#23551	—	53	1	no	maximal, Sylow
147	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₅₃	#395	1	4	yes	—
152	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
156	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
157	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₄×C₅₃	#395	1	4	yes	—
160	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
161	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
162	Dic₅₃	—	4	4	no	—
163	Dic₅₃	—	4	8	no	—
164	Dic₅₃	—	8	2	no	—
165	C₂×#533	—	53	1	no	—
166	C₂×#427	—	53	2	no	—
167	#2296	—	53	1	no	—
168	#2059	—	53	4	no	—
169	#2058	—	53	2	no	—
170	#2057	—	53	2	no	—
171	#1735	—	53	2	no	—
172	C₂×#336	D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
174	C₂×C₅₃	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3002	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#3076	1	2	yes	—
177	C₂×C₅₃	#3160	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#3162	1	1	yes	characteristic
179	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	#533	—	106	8	no	—
181	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
182	C₂×#125	—	53	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
184	C₂×C₄×Q₈	—	106	2	no	—
185	C₂×#117	—	53	2	no	—
186	C₂×#117	—	53	1	no	—
187	C₂×#117	—	53	1	no	—
188	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#427	—	106	8	no	—
190	C₂×#107	—	53	4	no	—
191	C₂×#106	—	53	4	no	—
192	#389	—	53	2	no	—
193	#389	—	53	2	no	—
194	#385	—	106	2	no	—
195	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
196	#340	—	53	4	no	—
197	#340	—	53	4	no	—
198	#336	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#336	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₅₃	#23551	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
202	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
203	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
204	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₈	Dic₁₀₆	1	8	yes	complemented
208	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
209	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
210	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
211	#125	—	106	8	no	—
212	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
213	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
214	#117	—	53	8	no	—
215	#117	—	53	4	no	—
216	#117	—	106	4	no	—
217	#117	—	106	2	no	—
218	#117	—	106	4	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
229	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
231	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
232	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
233	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#107	—	106	8	no	—
237	#106	—	106	8	no	—
238	#95	—	106	2	no	—
239	#95	—	106	2	no	—
240	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
241	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	—	2	16	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	106	8	no	—
281	C₄²	—	106	4	no	—
282	C₄²	—	212	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	#13133187	1	2	yes	—
286	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
287	C₂³	#13133217	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	212	16	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	106	8	no	—
297	C₂×C₄	—	106	4	no	—
298	C₂×C₄	—	212	2	no	—
299	C₂×C₄	—	212	2	no	—
300	C₂×C₄	—	212	2	no	—
301	C₂×C₄	—	212	2	no	—
302	C₂×C₄	—	212	4	no	—
303	C₂×C₄	—	212	2	no	—
304	C₂×C₄	—	212	4	no	—
305	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#13133194	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#13133216	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	#13133217	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#13133239	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	#16810544	1	4	yes	—
322	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#13133217	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
326	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	424	2	no	—
330	C₄	—	212	8	no	—
331	C₄	—	212	4	no	—
332	C₄	#16810544	1	4	yes	—
333	C₄	C₂×#13133194	1	2	yes	—
334	C₄	C₂×#13133216	1	2	yes	—
335	C₂	—	2	4	no	—
336	C₂	C₂×#16810544	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#20283937	1	2	yes	—
338	C₂	#20284505	1	2	yes	—
339	C₂	#20285229	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#20285239	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#336	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂×#336	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23551
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#336

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20276054	C₂	semidirect
5. #20276049	C₂	semidirect
6. #20276044	C₂	semidirect
40. #13133176	Q₈	semidirect
62. C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	semidirect
201. C₅₃	#23551	semidirect
207. C₂²×C₈	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811180	2
C₂×#16810661	2
#20277198	2
#20276054	2
#20276049	2
#20276044	2
#20274432	2
C₂×C₅₃×#336	2
#23551	53