Subgroups — #27412138

Order 13568.

1358 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810663	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276045	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20276040	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274434	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16810663	—	2	8	no	—
12	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
14	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810496	—	2	1	no	—
17	#16810496	—	2	1	no	—
18	C₄×#11719919	—	2	2	no	—
19	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂³×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
26	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
30	C₂×#11719917	Q₈	1	8	yes	complemented
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133176	—	2	4	no	—
33	#13133176	—	2	2	no	—
34	#13133176	Q₈	1	4	yes	complemented
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
40	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	#13133150	—	2	8	no	—
45	#13133148	—	2	8	no	—
46	#13133124	—	2	2	no	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂²×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
56	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	32	no	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
101	#11719919	—	4	4	no	—
102	#11719919	—	4	4	no	—
103	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
105	#11719917	—	2	16	no	—
106	C₂×#88322	—	2	4	no	—
107	C₂×#88322	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
109	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
115	Q₈×C₅₃	—	4	32	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	#88322	—	2	8	no	—
144	#23552	—	53	1	no	maximal, Sylow
145	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₅₃	#395	1	4	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
154	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
155	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
158	C₄×C₅₃	#395	1	4	yes	—
159	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
160	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
161	Dic₅₃	—	4	4	no	—
162	Dic₅₃	—	8	1	no	—
163	Dic₅₃	—	8	1	no	—
164	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂×#428	—	53	2	no	—
166	#2296	—	53	1	no	—
167	#2058	—	53	4	no	—
168	#2057	—	53	4	no	—
169	#1736	—	53	2	no	—
170	#1728	—	53	1	no	—
171	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
172	C₂×C₅₃	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	#3003	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	#3004	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3079	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#3165	1	2	yes	—
177	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
178	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
179	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
182	C₂×#117	—	53	1	no	—
183	C₂×#117	—	53	1	no	—
184	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	#428	—	106	8	no	—
188	C₂×#107	—	53	4	no	—
189	C₂×#106	—	53	4	no	—
190	#389	—	53	2	no	—
191	#389	—	53	2	no	—
192	#385	—	106	1	no	—
193	#385	—	106	1	no	—
194	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
195	#340	—	53	8	no	—
196	#336	—	53	4	no	—
197	C₅₃	#23552	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
198	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
199	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
201	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
206	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
208	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
209	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
210	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
211	#117	—	53	4	no	—
212	#117	—	106	2	no	—
213	#117	—	106	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
224	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
229	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
230	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	#107	—	106	8	no	—
233	#106	—	106	8	no	—
234	#95	—	106	2	no	—
235	#95	—	106	2	no	—
236	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
251	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	M₁₆	—	106	16	no	—
260	C₂×C₈	—	53	8	no	—
261	C₂×C₈	—	106	4	no	—
262	C₂×C₈	—	106	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
272	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	106	4	no	—
278	C₄²	—	212	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	#13133186	1	2	yes	—
282	C₂³	#13133193	1	2	yes	—
283	C₂³	#13133215	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	4	32	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	106	4	no	—
296	C₂×C₄	—	212	1	no	—
297	C₂×C₄	—	212	1	no	—
298	C₂×C₄	—	212	2	no	—
299	C₂×C₄	—	212	2	no	—
300	C₂×C₄	—	212	2	no	—
301	C₂×C₄	—	212	2	no	—
302	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#13133193	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#13133215	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	#13133243	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#13133248	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
313	C₈	—	106	8	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	#16810542	1	4	yes	—
319	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#13133243	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×#13133248	1	2	yes	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	—	4	8	no	—
327	C₄	—	424	1	no	—
328	C₄	—	424	1	no	—
329	C₄	—	212	4	no	—
330	C₄	#16810542	1	4	yes	—
331	C₄	C₂×#13133193	1	2	yes	—
332	C₄	C₂×#13133215	1	2	yes	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	C₂×#16810542	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#20283942	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#20283949	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#20284524	1	2	yes	—
338	C₂	#20285257	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23552
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20276045	C₂	semidirect
4. #20276040	C₂	semidirect
30. C₂×#11719917	Q₈	semidirect
34. #13133176	Q₈	semidirect
100. C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	semidirect
108. C₂×#88322	C₂×Q₈	semidirect
197. C₅₃	#23552	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810663	2
#20277198	2
#20276045	2
#20276040	2
#20274434	2
#20274409	2
C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#23552	53