Subgroups — #27412142

Order 13568.

1358 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810666	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20276048	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20276043	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274436	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₅₃×#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
9	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133217	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133217	—	2	2	no	—
12	C₂×#13133217	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810666	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#385	—	2	1	no	—
26	C₅₃×#385	—	2	1	no	—
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
31	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
32	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
33	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
34	C₂×#11719917	Q₈	1	8	yes	complemented
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	#13133217	—	2	16	no	—
37	#13133217	—	2	16	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	#13133150	—	2	8	no	—
45	#13133148	—	2	8	no	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
50	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
51	#117×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
65	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	4	32	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
95	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
105	#11719917	—	2	16	no	—
106	C₂×#88322	—	2	4	no	—
107	C₂×#88322	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
109	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
142	Dic₁₀₆	—	4	32	no	—
143	#88322	—	2	8	no	—
144	#23552	—	53	1	no	maximal, Sylow
145	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₅₃	#395	1	4	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
154	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
155	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
158	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
159	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
160	C₄×C₅₃	#395	1	4	yes	—
161	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
162	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
163	Dic₅₃	—	4	8	no	—
164	C₂²×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
165	C₂×#428	—	53	2	no	—
166	#2296	D₅₃	1	1	yes	characteristic
167	#2058	—	53	4	no	—
168	#2057	—	53	4	no	—
169	#1736	—	53	2	no	—
170	#1728	—	53	1	no	—
171	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
172	C₂×C₅₃	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	#3003	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	#3004	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3079	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#3165	1	2	yes	—
177	C₂³×Q₈	—	106	1	no	—
178	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
179	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
180	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
181	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
182	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
185	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
186	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	#428	—	106	8	no	—
188	C₂×#107	—	53	4	no	—
189	C₂×#106	—	53	4	no	—
190	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	#385	—	2	1	no	—
193	#385	—	2	1	no	—
194	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	#340	—	53	8	no	—
196	#336	—	53	4	no	—
197	C₅₃	#23552	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
198	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
199	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
200	C₂²×Q₈	—	212	8	no	—
201	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
202	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
206	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
208	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
209	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
210	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
211	#117	—	2	2	no	—
212	#117	—	2	4	no	—
213	#117	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
229	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	#107	—	106	8	no	—
233	#106	—	106	8	no	—
234	#95	—	2	2	no	—
235	#95	—	2	2	no	—
236	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
238	C₂×Q₈	—	212	32	no	—
239	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	M₁₆	—	106	16	no	—
260	C₂×C₈	—	53	8	no	—
261	C₂×C₈	—	106	4	no	—
262	C₂×C₈	—	106	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
270	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
272	C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	#13133185	1	2	yes	—
282	C₂³	#13133196	1	2	yes	—
283	C₂³	#13133215	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	212	32	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	106	8	no	—
300	C₂×C₄	—	212	16	no	—
301	C₂×C₄	—	212	8	no	—
302	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	#13133196	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#13133216	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#13133247	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
313	C₈	—	106	8	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	#16810543	1	4	yes	—
319	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#13133242	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×#13133247	1	2	yes	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	8	1	no	—
328	C₄	—	8	1	no	—
329	C₄	—	212	8	no	—
330	C₄	#16810543	1	4	yes	—
331	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
332	C₄	C₂×#13133216	1	2	yes	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	C₂×#16810543	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#20283941	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#20283948	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#20284530	1	2	yes	—
338	C₂	#20285262	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2296	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#2296	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23552
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2296

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20276048	C₂	semidirect
4. #20276043	C₂	semidirect
34. C₂×#11719917	Q₈	semidirect
51. #117×C₅₃	Q₈	semidirect
94. C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	semidirect
108. C₂×#88322	C₂×Q₈	semidirect
197. C₅₃	#23552	semidirect
213. #117	Dic₁₀₆	semidirect
272. C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133217	2
C₂×#16810666	2
#20276048	2
#20276043	2
#20274436	2
#20274409	2
C₅₃×#2296	2
#23552	53