Subgroups — #27412212

Order 13568.

1074 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811254	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283305	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276066	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276061	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274426	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×C₅₃×#343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#16811254	—	2	4	no	—
9	#16811254	—	2	2	no	—
10	#16811254	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133216	—	2	2	no	—
12	C₂×#13133208	—	2	2	no	—
13	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16810665	—	2	2	no	—
18	#16810665	—	2	2	no	—
19	#16810665	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810665	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810661	—	2	4	no	—
22	#16810519	—	2	2	no	—
23	#16810496	—	2	2	no	—
24	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810384	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#343	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
31	#13133216	—	2	8	no	—
32	#13133216	—	2	8	no	—
33	#13133208	—	2	8	no	—
34	#13133208	—	2	8	no	—
35	#13133196	—	2	8	no	—
36	#13133196	—	2	8	no	—
37	#13133176	—	2	2	no	—
38	#13133176	—	2	2	no	—
39	#13133176	—	2	2	no	—
40	#13133176	—	2	2	no	—
41	#13133176	—	2	2	no	—
42	#13133176	D₄	1	4	yes	—
43	#13133176	Q₈	1	4	yes	complemented
44	#13133176	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
52	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
53	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
54	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	#13133151	—	2	4	no	—
60	#13133151	—	2	4	no	—
61	#13133149	—	2	4	no	—
62	#13133149	—	2	4	no	—
63	#13133124	—	2	4	no	—
64	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×M₁₆×C₅₃	Q₈	1	8	yes	complemented
69	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
94	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
95	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
96	M₁₆×C₅₃	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	#11719919	—	2	16	no	—
115	#11719919	—	8	4	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
120	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
121	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
123	C₂³×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
127	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
154	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
156	#23561	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₅₃	#395	1	2	yes	—
166	C₂²×C₅₃	#395	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	#395	1	4	yes	—
172	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
173	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
174	Dic₅₃	—	4	4	no	—
175	Dic₅₃	—	4	4	no	—
176	Dic₅₃	—	4	4	no	—
177	Dic₅₃	—	8	1	no	—
178	Dic₅₃	—	8	1	no	—
179	C₂×#544	—	53	1	no	—
180	#2911	—	53	2	no	—
181	#2317	—	53	1	no	—
182	#2061	—	53	4	no	—
183	#2060	—	53	4	no	—
184	C₂×#343	D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	#1733	—	53	2	no	—
186	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
187	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
188	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₂×C₅₃	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#3019	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#3020	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
194	#544	—	53	4	no	—
195	#544	—	106	4	no	—
196	#544	—	106	2	no	—
197	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
198	C₂×#125	—	106	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
200	C₂×#117	—	53	1	no	—
201	C₂×#117	—	53	2	no	—
202	C₂×#117	—	53	1	no	—
203	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#428	—	53	4	no	—
205	#428	—	53	4	no	—
206	#428	—	106	2	no	—
207	#428	—	106	2	no	—
208	#427	—	106	4	no	—
209	#389	—	106	2	no	—
210	#385	—	106	2	no	—
211	#384	—	53	2	no	—
212	#382	—	53	2	no	—
213	#343	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
214	#339	—	53	8	no	—
215	C₅₃	#23561	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
216	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
217	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
218	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
220	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
221	C₂×M₁₆	Dic₁₀₆	1	8	yes	complemented
222	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
223	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
224	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
225	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
226	#125	—	106	8	no	—
227	#125	—	106	8	no	—
228	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
229	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
230	#117	—	53	4	no	—
231	#117	—	53	4	no	—
232	#117	—	53	4	no	—
233	#117	—	106	2	no	—
234	#117	—	106	2	no	—
235	#117	—	106	2	no	—
236	#117	—	106	2	no	—
237	#117	—	106	2	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
249	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
253	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
254	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
255	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
256	#107	—	106	4	no	—
257	#107	—	106	4	no	—
258	#106	—	106	4	no	—
259	#106	—	106	4	no	—
260	#95	—	106	4	no	—
261	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
262	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
263	C₂×Q₈	—	424	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
272	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	C₂×Dic₁₀₆	1	8	yes	complemented
283	C₂×C₈	—	2	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
291	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	424	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
302	C₄²	—	53	4	no	—
303	C₄²	—	106	4	no	—
304	C₄²	—	106	4	no	—
305	C₄²	—	106	2	no	—
306	C₄²	—	212	2	no	—
307	C₂³	—	4	1	no	—
308	C₂³	—	4	1	no	—
309	C₂³	#13133187	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	#13133187	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
312	C₂³	#13133217	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
314	Q₈	—	424	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	106	4	no	—
320	C₂×C₄	—	106	4	no	—
321	C₂×C₄	—	106	4	no	—
322	C₂×C₄	—	212	2	no	—
323	C₂×C₄	—	212	2	no	—
324	C₂×C₄	—	212	1	no	—
325	C₂×C₄	—	212	1	no	—
326	C₂×C₄	—	212	2	no	—
327	C₂×C₄	—	212	2	no	—
328	C₂×C₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	—	212	4	no	—
330	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#13133194	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#13133194	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#13133216	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#13133216	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#13133217	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
341	C₈	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	#16810544	1	2	yes	—
351	C₂²	#16810544	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#13133217	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	—	424	1	no	—
357	C₄	—	424	1	no	—
358	C₄	—	212	4	no	—
359	C₄	—	212	4	no	—
360	C₄	—	212	4	no	—
361	C₄	#16810544	1	4	yes	—
362	C₄	C₂×#13133194	1	2	yes	—
363	C₄	C₂×#13133216	1	2	yes	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	2	1	no	—
368	C₂	C₂×#16810544	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20284075	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20284082	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133187
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#343	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂×#343	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23561
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#343

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20276066	C₂	semidirect
5. #20276061	C₂	semidirect
43. #13133176	Q₈	semidirect
68. C₂×M₁₆×C₅₃	Q₈	semidirect
96. M₁₆×C₅₃	C₂×Q₈	semidirect
120. C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	semidirect
215. C₅₃	#23561	semidirect
221. C₂×M₁₆	Dic₁₀₆	semidirect
282. M₁₆	C₂×Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811254	2
#20283305	2
#20277339	2
#20276066	2
#20276061	2
#20274426	2
C₂×C₅₃×#343	2
#23561	53