Subgroups — #27412214

Order 13568.

1054 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810666	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276062	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20276057	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274454	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274424	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#3458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16810666	—	2	4	no	—
12	#16810666	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×#13133150	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133148	—	2	2	no	—
15	#16810521	—	2	2	no	—
16	#16810495	—	2	2	no	—
17	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810382	C₂²	1	8	yes	—
22	C₅₃×#544	—	2	2	no	—
23	C₅₃×#544	—	2	2	no	—
24	C₅₃×#544	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#544	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#543	—	2	2	no	—
27	C₅₃×#533	—	2	4	no	—
28	C₅₃×#533	—	2	2	no	—
29	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
32	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
33	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
34	C₂×#11719917	Q₈	1	8	yes	complemented
35	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
37	#13133176	—	2	2	no	—
38	#13133176	Q₈	1	4	yes	complemented
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	#13133150	—	2	8	no	—
48	#13133148	—	2	8	no	—
49	#13133124	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
55	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
56	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
57	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
59	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
65	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
66	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
67	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
68	#117×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
69	#117×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	8	2	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
118	#11719919	—	8	4	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
121	#11719917	—	2	8	no	—
122	#11719917	—	2	4	no	—
123	#11719917	C₂×Q₈	1	8	yes	—
124	C₂×#88322	—	2	8	no	—
125	C₂×#88322	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
129	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
131	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
160	#88322	—	2	8	no	—
161	#23562	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	#395	1	4	yes	—
169	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
174	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
176	C₄×C₅₃	#395	1	2	yes	—
177	C₄×C₅₃	#395	1	2	yes	—
178	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
179	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	4	4	no	—
181	Dic₅₃	—	8	2	no	—
182	#3458	D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	C₂×#428	—	53	2	no	—
184	#2317	—	53	1	no	—
185	#2061	—	53	4	no	—
186	#2060	—	53	4	no	—
187	#1742	—	53	1	no	—
188	#1733	—	53	2	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
190	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
192	C₂×C₅₃	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#3021	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3022	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
196	#544	—	2	2	no	—
197	#544	—	2	2	no	—
198	#544	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	#544	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#543	—	2	2	no	—
201	#533	—	2	4	no	—
202	#533	—	2	2	no	—
203	C₂×#117	—	53	1	no	—
204	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
207	#428	—	53	8	no	—
208	#428	—	106	4	no	—
209	C₂×#107	—	106	2	no	—
210	C₂×#106	—	106	2	no	—
211	#389	—	106	2	no	—
212	#385	—	106	2	no	—
213	#384	—	53	2	no	—
214	#382	—	53	2	no	—
215	#343	—	53	2	no	—
216	#343	—	53	2	no	—
217	#339	—	53	8	no	—
218	C₅₃	#23562	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
219	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
220	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
222	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
223	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
224	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
225	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
226	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
227	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
228	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
229	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
230	#125	—	2	4	no	—
231	#125	—	2	4	no	—
232	#125	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
237	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
239	#117	—	2	2	no	—
240	#117	—	2	2	no	—
241	#117	—	2	2	no	—
242	#117	—	2	2	no	—
243	#117	—	53	4	no	—
244	#117	—	106	2	no	—
245	#117	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
246	#117	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
254	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
259	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
262	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	#107	—	106	8	no	—
264	#106	—	106	8	no	—
265	#95	—	106	4	no	—
266	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
275	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	M₁₆	—	53	8	no	—
285	M₁₆	—	106	8	no	—
286	M₁₆	—	106	4	no	—
287	C₂×C₈	—	106	8	no	—
288	C₂×C₈	—	106	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	424	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
302	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	53	4	no	—
313	C₄²	—	106	2	no	—
314	C₂³	—	4	1	no	—
315	C₂³	—	4	1	no	—
316	C₂³	#13133186	1	2	yes	—
317	C₂³	#13133193	1	2	yes	—
318	C₂³	#13133215	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	8	4	no	—
321	Q₈	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	106	4	no	—
331	C₂×C₄	—	424	4	no	—
332	C₂×C₄	—	212	4	no	—
333	C₂×C₄	—	212	2	no	—
334	C₂×C₄	—	212	2	no	—
335	C₂×C₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#13133215	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#13133215	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	106	8	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	#16810542	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	424	2	no	—
364	C₄	—	212	4	no	—
365	C₄	#16810542	1	2	yes	—
366	C₄	#16810542	1	2	yes	—
367	C₄	C₂×#13133193	1	2	yes	—
368	C₄	C₂×#13133215	1	2	yes	—
369	C₂	—	2	1	no	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	2	1	no	—
372	C₂	C₂×#16810542	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20284087	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#20284094	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133186
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3458	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#3458	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23562
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #3458

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20276062	C₂	semidirect
4. #20276057	C₂	semidirect
34. C₂×#11719917	Q₈	semidirect
38. #13133176	Q₈	semidirect
218. C₅₃	#23562	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810666	2
#20277335	2
#20276062	2
#20276057	2
#20274454	2
#20274424	2
C₅₃×#3458	2
#23562	53