Subgroups — #27412848

Order 13568.

1038 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810620	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276135	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276130	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276125	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₅₃×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810620	—	2	8	no	—
14	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
16	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810525	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810525	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810502	—	2	2	no	—
21	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810483	—	2	2	no	—
24	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
25	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
26	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
33	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
34	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
35	C₂×#11719945	D₄	1	4	yes	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
40	#13133176	—	2	4	no	—
41	#13133176	—	2	4	no	—
42	#13133176	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	#13133142	—	2	8	no	—
55	#13133139	—	2	8	no	—
56	#13133124	—	2	2	no	—
57	#13133124	—	2	2	no	—
58	#13133124	—	2	4	no	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
89	#11719945	—	2	16	no	—
90	#11719945	—	4	8	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
94	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	4	8	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	#11719921	—	4	4	no	—
112	#11719921	—	4	4	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	8	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	D₂₁₂	—	2	4	no	—
160	D₂₁₂	—	4	2	no	—
161	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
162	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
163	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
165	#23627	—	53	1	no	maximal, Sylow
166	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₅₃	#397	1	4	yes	—
171	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
175	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
176	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
181	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
182	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
183	C₄×C₅₃	#397	1	4	yes	—
184	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
185	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	2	yes	—
186	Dic₅₃	—	4	2	no	—
187	Dic₅₃	—	8	1	no	—
188	Dic₅₃	—	8	1	no	—
189	Dic₅₃	—	8	4	no	—
190	C₂×#416	—	53	2	no	—
191	#2297	—	53	1	no	—
192	#2285	—	53	1	no	—
193	#2074	—	53	2	no	—
194	#2073	—	53	2	no	—
195	#2072	—	53	2	no	—
196	#2071	—	53	2	no	—
197	#1735	—	53	2	no	—
198	C₂×#336	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
199	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
200	C₂×C₅₃	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#3035	1	2	yes	—
202	C₂×C₅₃	#3091	1	2	yes	—
203	C₂×C₅₃	#3131	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#3135	1	1	yes	characteristic
205	D₅₃	—	8	2	no	—
206	C₂²×#41	—	53	1	no	—
207	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂×#117	—	53	2	no	—
209	C₂×#117	—	53	1	no	—
210	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#416	—	106	8	no	—
212	C₂×#103	—	53	4	no	—
213	C₂×#102	—	53	4	no	—
214	#391	—	53	1	no	—
215	#391	—	53	1	no	—
216	#390	—	53	1	no	—
217	#390	—	53	1	no	—
218	#386	—	106	2	no	—
219	#384	—	53	2	no	—
220	#382	—	53	2	no	—
221	#380	—	106	2	no	—
222	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
223	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
224	#340	—	53	4	no	—
225	#340	—	53	4	no	—
226	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₅₃	#23627	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
229	C₂×#41	—	53	4	no	—
230	C₂×#41	—	106	2	no	—
231	C₂×#41	—	106	4	no	—
232	C₂×#41	—	106	4	no	—
233	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
234	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
235	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
236	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
237	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
238	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
243	#117	—	106	4	no	—
244	#117	—	106	4	no	—
245	#117	—	106	4	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
255	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
257	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
258	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
259	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	#103	—	106	8	no	—
262	#102	—	106	8	no	—
263	#95	—	106	2	no	—
264	#95	—	106	2	no	—
265	#95	—	106	4	no	—
266	C₂⁴	—	106	1	no	—
267	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
268	#41	—	106	16	no	—
269	#41	—	212	8	no	—
270	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
274	C₂×D₄	—	53	2	no	—
275	C₂×D₄	—	106	4	no	—
276	C₂×D₄	—	106	2	no	—
277	C₂×D₄	—	106	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	1	no	—
279	C₂×D₄	—	212	2	no	—
280	C₂×D₄	—	212	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
285	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
291	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
297	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	2	no	—
315	C₄²	—	2	2	no	—
316	C₄²	—	212	4	no	—
317	C₄²	—	212	2	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	106	2	no	—
321	C₂³	—	212	1	no	—
322	C₂³	—	212	1	no	—
323	C₂³	—	212	2	no	—
324	C₂³	—	212	2	no	—
325	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
326	C₂³	#13133201	1	2	yes	—
327	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
328	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
329	Q₈	—	106	4	no	—
330	Q₈	—	212	2	no	—
331	D₄	—	106	4	no	—
332	D₄	—	212	8	no	—
333	D₄	—	212	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	106	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	4	no	—
342	C₂×C₄	—	212	1	no	—
343	C₂×C₄	—	212	1	no	—
344	C₂×C₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	—	212	4	no	—
346	C₂×C₄	—	212	2	no	—
347	C₂×C₄	—	212	4	no	—
348	C₂×C₄	—	212	1	no	—
349	C₂×C₄	—	212	1	no	—
350	C₂×C₄	—	212	8	no	—
351	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#13133199	1	8	yes	—
353	C₂×C₄	#13133201	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#13133212	1	8	yes	—
356	C₂×C₄	#13133239	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
361	C₈	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	424	1	no	—
367	C₂²	—	424	1	no	—
368	C₂²	—	424	2	no	—
369	C₂²	—	212	4	no	—
370	C₂²	—	212	2	no	—
371	C₂²	#16810550	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
376	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	424	4	no	—
380	C₄	—	424	1	no	—
381	C₄	—	424	1	no	—
382	C₄	—	212	2	no	—
383	C₄	#16810550	1	4	yes	—
384	C₄	C₂×#13133199	1	2	yes	—
385	C₄	C₂×#13133212	1	2	yes	—
386	C₂	—	2	4	no	—
387	C₂	—	424	2	no	—
388	C₂	C₂×#16810550	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#20284172	1	2	yes	—
390	C₂	#20284630	1	2	yes	—
391	C₂	#20285038	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20285061	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#336	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
hypercenter	C₂×#336	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23627
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#336

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20277122	C₂	semidirect
4. #20276135	C₂	semidirect
5. #20276130	C₂	semidirect
6. #20276125	C₂	semidirect
7. #20276120	C₂	semidirect
8. #20274432	C₂	semidirect
9. C₂×C₅₃×#336	C₂	semidirect
198. C₂×#336	D₅₃	semidirect
228. C₅₃	#23627	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810620	2
#20277205	2
#20277122	2
#20276135	2
#20276130	2
#20276125	2
#20276120	2
#20274432	2
C₂×C₅₃×#336	2
#23627	53