Subgroups — #27412856

Order 13568.

1226 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810629	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16810525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276130	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276120	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#11719921	—	2	2	no	—
12	#16810629	—	2	8	no	—
13	C₂×#13133139	C₂²	1	8	yes	—
14	#16810525	—	2	2	no	—
15	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810493	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#16810489	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#16810483	—	2	2	no	—
20	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
21	#16810386	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂⁴×D₅₃	—	2	1	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	4	yes	—
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
34	#13133176	—	2	4	no	—
35	#13133176	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
44	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719921	—	4	8	no	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	#13133139	—	2	16	no	—
48	#13133124	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
89	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
98	#11719921	—	4	8	no	—
99	#11719921	—	4	8	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
111	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	8	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
145	D₂₁₂	—	2	8	no	—
146	D₂₁₂	—	4	4	no	—
147	D₂₁₂	—	4	8	no	—
148	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
149	#23628	—	53	1	no	maximal, Sylow
150	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	#397	1	4	yes	—
155	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
159	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
160	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
165	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
168	C₄×C₅₃	#397	1	4	yes	—
169	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	2	yes	—
171	Dic₅₃	—	8	2	no	—
172	Dic₅₃	—	8	4	no	—
173	C₂×#418	—	53	2	no	—
174	C₂×#390	—	53	1	no	—
175	#2285	—	53	1	no	—
176	#2073	—	53	4	no	—
177	#2071	—	53	4	no	—
178	#1736	—	53	2	no	—
179	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
180	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×C₅₃	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3036	1	2	yes	—
183	C₂×C₅₃	#3094	1	2	yes	—
184	C₂×C₅₃	#3138	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#3140	1	1	yes	characteristic
186	D₅₃	—	8	4	no	—
187	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
188	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₂×#117	—	53	2	no	—
190	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
191	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
192	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	#418	—	106	8	no	—
194	C₂×#102	—	53	8	no	—
195	#390	—	53	2	no	—
196	#390	—	53	2	no	—
197	#390	—	106	2	no	—
198	#384	—	53	2	no	—
199	#382	—	53	2	no	—
200	#380	—	106	2	no	—
201	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
202	#340	—	53	8	no	—
203	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
204	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
205	C₅₃	#23628	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
206	C₂⁵	—	106	1	no	—
207	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
208	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
209	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
210	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
211	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
212	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
213	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
214	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
217	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
218	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
220	#117	—	106	4	no	—
221	#117	—	106	4	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
230	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
231	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
232	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
234	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	#102	—	106	16	no	—
238	#95	—	106	4	no	—
239	C₂⁴	—	106	4	no	—
240	C₂⁴	—	106	2	no	—
241	C₂⁴	—	212	4	no	—
242	C₂⁴	—	212	4	no	—
243	C₂⁴	—	212	2	no	—
244	C₂⁴	—	212	2	no	—
245	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
246	C₂×D₄	—	53	4	no	—
247	C₂×D₄	—	106	4	no	—
248	C₂×D₄	—	106	16	no	—
249	C₂×D₄	—	106	4	no	—
250	C₂×D₄	—	106	4	no	—
251	C₂×D₄	—	106	2	no	—
252	C₂×D₄	—	212	2	no	—
253	C₂×D₄	—	212	2	no	—
254	C₂×D₄	—	212	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	M₁₆	—	4	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	212	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	106	4	no	—
290	C₂³	—	424	4	no	—
291	C₂³	—	424	4	no	—
292	C₂³	—	424	8	no	—
293	C₂³	—	212	16	no	—
294	C₂³	—	212	8	no	—
295	C₂³	—	212	2	no	—
296	C₂³	—	212	2	no	—
297	C₂³	—	212	4	no	—
298	C₂³	—	212	4	no	—
299	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
300	C₂³	#13133201	1	2	yes	—
301	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
303	D₄	—	106	8	no	—
304	D₄	—	212	8	no	—
305	D₄	—	212	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	424	4	no	—
313	C₂×C₄	—	212	4	no	—
314	C₂×C₄	—	212	2	no	—
315	C₂×C₄	—	212	4	no	—
316	C₂×C₄	—	212	4	no	—
317	C₂×C₄	—	212	4	no	—
318	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#13133199	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	#13133201	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#13133212	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#13133245	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	424	16	no	—
334	C₂²	—	424	2	no	—
335	C₂²	—	424	2	no	—
336	C₂²	—	424	4	no	—
337	C₂²	—	212	8	no	—
338	C₂²	—	212	4	no	—
339	C₂²	#16810550	1	4	yes	—
340	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#13133245	1	2	yes	—
344	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	424	4	no	—
348	C₄	—	424	2	no	—
349	C₄	#16810550	1	4	yes	—
350	C₄	C₂×#13133199	1	2	yes	—
351	C₄	C₂×#13133212	1	2	yes	—
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	424	4	no	—
354	C₂	C₂×#16810550	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20284181	1	2	yes	—
356	C₂	#20284656	1	2	yes	—
357	C₂	#20285090	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20285102	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23628
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20277122	C₂	semidirect
4. #20276130	C₂	semidirect
5. #20276120	C₂	semidirect
6. #20274435	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
17. #16810493	C₂²	semidirect
18. #16810489	C₂²	semidirect
21. #16810386	C₂²	semidirect
24. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
25. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
179. #1728	D₅₃	semidirect
203. #336	C₂×D₅₃	semidirect
204. #336	C₂×D₅₃	semidirect
205. C₅₃	#23628	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810629	2
C₂×#16810525	2
#20277122	2
#20276130	2
#20276120	2
#20274435	2
C₅₃×#1728	2
#23628	53