Subgroups — #27412869

Order 13568.

1130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810622	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276124	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20276119	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₅₃×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16810622	—	2	8	no	—
12	C₂×#13133140	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
14	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810502	—	2	2	no	—
17	C₄×#11719921	—	2	1	no	—
18	C₄×#11719921	—	2	1	no	—
19	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
22	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#384	—	2	1	no	—
25	C₅₃×#384	—	2	1	no	—
26	C₅₃×#384	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
28	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
30	C₂×#11719945	D₄	1	4	yes	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
36	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
37	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
39	#13133176	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
42	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
45	#13133140	—	2	8	no	—
46	#13133137	—	2	8	no	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	#11719945	—	2	16	no	—
85	#11719945	—	4	8	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
89	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	#11719921	—	4	4	no	—
107	#11719921	—	4	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
110	#11719917	—	4	8	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	4	no	—
113	C₂×#88322	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	8	8	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	8	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
144	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	D₂₁₂	—	2	4	no	—
152	D₂₁₂	—	4	2	no	—
153	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
154	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
155	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
156	#88322	—	4	4	no	—
157	#23630	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	#397	1	4	yes	—
163	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
168	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
170	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
175	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
176	C₄×C₅₃	#397	1	4	yes	—
177	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
178	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	2	yes	—
179	Dic₅₃	—	4	2	no	—
180	Dic₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×#417	—	53	2	no	—
182	#2297	—	53	1	no	—
183	C₂×#384	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
184	#2072	—	53	4	no	—
185	#2071	—	53	4	no	—
186	#1736	—	53	2	no	—
187	#1728	—	53	1	no	—
188	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
189	C₂×C₅₃	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#3038	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#3039	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#3092	1	2	yes	—
193	C₂×C₅₃	#3141	1	2	yes	—
194	D₅₃	—	8	2	no	—
195	C₂²×#41	—	53	1	no	—
196	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
197	C₂×#117	—	53	1	no	—
198	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	#417	—	106	8	no	—
202	C₂×#103	—	53	4	no	—
203	C₂×#102	—	53	4	no	—
204	#391	—	53	2	no	—
205	#390	—	53	2	no	—
206	#386	—	106	2	no	—
207	#384	—	2	1	no	—
208	#384	—	2	1	no	—
209	#384	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
210	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
211	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
212	#340	—	53	8	no	—
213	#336	—	53	4	no	—
214	C₅₃	#23630	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
215	C₂×#41	—	53	4	no	—
216	C₂×#41	—	106	2	no	—
217	C₂×#41	—	106	4	no	—
218	C₂×#41	—	106	4	no	—
219	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
220	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
221	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
222	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
224	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
227	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
228	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
229	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
230	#117	—	106	4	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
244	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
247	#103	—	106	8	no	—
248	#102	—	106	8	no	—
249	#95	—	106	2	no	—
250	#95	—	106	2	no	—
251	C₂⁴	—	106	1	no	—
252	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	#41	—	106	16	no	—
254	#41	—	212	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
259	C₂×D₄	—	53	2	no	—
260	C₂×D₄	—	106	4	no	—
261	C₂×D₄	—	106	1	no	—
262	C₂×D₄	—	106	2	no	—
263	C₂×D₄	—	106	2	no	—
264	C₂×D₄	—	212	2	no	—
265	C₂×D₄	—	212	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
277	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	M₁₆	—	212	8	no	—
286	C₂×C₈	—	106	4	no	—
287	C₂×C₈	—	106	4	no	—
288	C₂×C₈	—	106	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	212	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	106	2	no	—
305	C₂³	—	212	1	no	—
306	C₂³	—	212	1	no	—
307	C₂³	—	212	2	no	—
308	C₂³	—	212	2	no	—
309	C₂³	#13133188	1	2	yes	—
310	C₂³	#13133200	1	2	yes	—
311	C₂³	#13133206	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	106	4	no	—
314	Q₈	—	212	2	no	—
315	D₄	—	106	4	no	—
316	D₄	—	212	8	no	—
317	D₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	16	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	212	2	no	—
328	C₂×C₄	—	212	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	1	no	—
331	C₂×C₄	—	212	1	no	—
332	C₂×C₄	—	212	8	no	—
333	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#13133200	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#13133202	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#13133212	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	#13133243	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#13133248	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
344	C₈	—	212	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	424	2	no	—
350	C₂²	—	424	2	no	—
351	C₂²	—	212	2	no	—
352	C₂²	—	212	2	no	—
353	C₂²	—	212	2	no	—
354	C₂²	#16810549	1	4	yes	—
355	C₂²	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#13133200	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#13133243	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×#13133248	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	—	424	2	no	—
364	C₄	—	212	2	no	—
365	C₄	#16810549	1	4	yes	—
366	C₄	C₂×#13133202	1	2	yes	—
367	C₄	C₂×#13133212	1	2	yes	—
368	C₂	—	2	4	no	—
369	C₂	—	424	2	no	—
370	C₂	C₂×#16810549	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#20284191	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#20284198	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20284638	1	2	yes	—
374	C₂	#20285111	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#384	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
hypercenter	C₂×#384	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23630
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#384

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20276124	C₂	semidirect
4. #20276119	C₂	semidirect
5. #20274434	C₂	semidirect
6. #20274409	C₂	semidirect
7. C₂×C₅₃×#384	C₂	semidirect
183. C₂×#384	D₅₃	semidirect
214. C₅₃	#23630	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810622	2
#20277205	2
#20276124	2
#20276119	2
#20274434	2
#20274409	2
C₂×C₅₃×#384	2
#23630	53