Subgroups — #27412878

Order 13568.

1042 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810625	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276135	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276130	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
11	#16810625	—	2	8	no	—
12	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
14	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810502	—	2	2	no	—
17	#16810489	—	2	2	no	—
18	#16810489	C₂²	1	4	yes	—
19	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
20	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
21	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
26	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
27	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
28	C₂×#11719945	D₄	1	4	yes	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
32	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
34	#13133176	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
43	#13133142	—	2	8	no	—
44	#13133139	—	2	8	no	—
45	#13133124	—	2	4	no	—
46	#13133124	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
51	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
75	#11719945	—	2	16	no	—
76	#11719945	—	4	8	no	—
77	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
80	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
95	#11719921	—	4	8	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
100	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
103	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
104	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	8	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
123	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	8	8	no	—
132	D₂₁₂	—	2	4	no	—
133	D₂₁₂	—	4	2	no	—
134	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
135	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
136	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
137	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
138	#23631	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₅₃	#397	1	4	yes	—
143	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	#575	1	4	yes	—
147	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
150	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
151	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
152	C₄×C₅₃	#397	1	4	yes	—
153	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
154	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	2	yes	—
155	Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	Dic₅₃	—	8	2	no	—
157	Dic₅₃	—	8	4	no	—
158	C₂×#417	—	53	2	no	—
159	#2297	—	53	1	no	—
160	C₂×#382	—	53	1	no	—
161	#2074	—	53	4	no	—
162	#2073	—	53	4	no	—
163	#1736	—	53	2	no	—
164	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
165	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂×C₅₃	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	#3040	1	2	yes	—
168	C₂×C₅₃	#3093	1	2	yes	—
169	C₂×C₅₃	#3142	1	2	yes	—
170	D₅₃	—	8	2	no	—
171	C₂²×#41	—	53	1	no	—
172	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
173	C₂×#117	—	53	1	no	—
174	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
175	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	#417	—	106	8	no	—
177	C₂×#103	—	53	4	no	—
178	C₂×#102	—	53	4	no	—
179	#391	—	53	2	no	—
180	#390	—	53	2	no	—
181	#386	—	106	2	no	—
182	#382	—	53	4	no	—
183	#382	—	106	2	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
185	C₂×#95	—	106	2	no	—
186	#340	—	53	8	no	—
187	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
188	C₅₃	#23631	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂×#41	—	53	4	no	—
190	C₂×#41	—	106	2	no	—
191	C₂×#41	—	106	4	no	—
192	C₂×#41	—	106	4	no	—
193	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
194	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
195	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
196	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
197	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
198	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
199	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
201	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
202	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
204	#117	—	106	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
214	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
216	#103	—	106	8	no	—
217	#102	—	106	8	no	—
218	#95	—	106	8	no	—
219	#95	—	106	4	no	—
220	C₂⁴	—	106	1	no	—
221	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
222	#41	—	106	16	no	—
223	#41	—	212	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
228	C₂×D₄	—	53	2	no	—
229	C₂×D₄	—	106	4	no	—
230	C₂×D₄	—	106	2	no	—
231	C₂×D₄	—	106	2	no	—
232	C₂×D₄	—	106	1	no	—
233	C₂×D₄	—	212	2	no	—
234	C₂×D₄	—	212	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	M₁₆	—	4	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	212	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	106	2	no	—
267	C₂³	—	212	1	no	—
268	C₂³	—	212	1	no	—
269	C₂³	—	212	4	no	—
270	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
271	C₂³	#13133201	1	2	yes	—
272	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	106	4	no	—
275	Q₈	—	212	2	no	—
276	D₄	—	106	4	no	—
277	D₄	—	212	8	no	—
278	D₄	—	212	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	106	2	no	—
284	C₂×C₄	—	424	8	no	—
285	C₂×C₄	—	212	4	no	—
286	C₂×C₄	—	212	2	no	—
287	C₂×C₄	—	212	4	no	—
288	C₂×C₄	—	212	8	no	—
289	C₂×C₄	—	212	1	no	—
290	C₂×C₄	—	212	1	no	—
291	C₂×C₄	—	212	8	no	—
292	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#13133199	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	#13133201	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#13133212	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	424	2	no	—
306	C₂²	—	424	2	no	—
307	C₂²	—	212	4	no	—
308	C₂²	—	212	2	no	—
309	C₂²	#16810550	1	4	yes	—
310	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#16811423	1	4	yes	—
314	C₄	—	4	4	no	—
315	C₄	—	424	4	no	—
316	C₄	—	424	2	no	—
317	C₄	—	212	2	no	—
318	C₄	#16810550	1	4	yes	—
319	C₄	C₂×#13133199	1	2	yes	—
320	C₄	C₂×#13133212	1	2	yes	—
321	C₂	—	2	4	no	—
322	C₂	—	424	2	no	—
323	C₂	C₂×#16810550	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20284210	1	2	yes	—
325	C₂	#20284648	1	2	yes	—
326	C₂	#20285116	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23631
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#16810489	C₂	semidirect
4. #20276135	C₂	semidirect
5. #20276130	C₂	semidirect
6. #20274435	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
164. #1728	D₅₃	semidirect
188. C₅₃	#23631	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810625	2
#20277205	2
C₂×#16810489	2
#20276135	2
#20276130	2
#20274435	2
C₅₃×#1728	2
#23631	53