Subgroups — #27412996

Order 13568.

906 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810661	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20283235	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276162	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276157	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274453	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
11	#16810661	—	2	2	no	—
12	#16810661	—	2	2	no	—
13	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	complemented
14	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#16810633	—	2	2	no	—
16	#16810629	—	2	2	no	—
17	#16810625	C₂²	1	8	yes	—
18	#16810620	—	2	4	no	—
19	#16810589	—	2	2	no	—
20	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#13133129	—	2	2	no	—
23	#16810391	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
29	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
30	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
31	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
32	C₂×#11719945	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×#11719917	—	2	1	no	—
39	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
42	#13133176	—	2	2	no	—
43	#13133176	—	2	2	no	—
44	#13133176	—	2	2	no	—
45	#13133176	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	#13133151	—	2	4	no	—
50	#13133149	—	2	4	no	—
51	#13133142	—	2	8	no	—
52	#13133139	—	2	8	no	—
53	#13133129	—	2	4	no	—
54	#13133129	—	2	4	no	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂⁴×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
81	#11719945	—	2	8	no	—
82	#11719945	—	2	4	no	—
83	#11719945	—	2	4	no	—
84	#11719945	—	4	2	no	—
85	#11719945	—	4	2	no	—
86	#11719945	—	4	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
89	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
98	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
99	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
114	#11719917	—	2	4	no	—
115	#11719917	—	4	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₅₃	#126	1	4	yes	—
122	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
139	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
145	D₂₁₂	—	2	4	no	—
146	D₂₁₂	—	4	2	no	—
147	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
148	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
149	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
152	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
155	#88322	—	4	2	no	—
156	#23646	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	#397	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#397	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₂×#126	1	2	yes	—
165	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
168	C₄×C₅₃	#397	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	#397	1	2	yes	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
171	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
173	Dic₅₃	—	4	2	no	—
174	Dic₅₃	—	8	4	no	—
175	C₂×#427	—	53	1	no	—
176	#2896	—	53	2	no	—
177	C₂×#408	—	53	1	no	—
178	#2079	—	53	4	no	—
179	#2078	—	53	4	no	—
180	#1742	—	53	2	no	—
181	C₂×#341	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
182	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
183	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
184	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
185	C₂×C₅₃	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#3067	1	2	yes	—
187	D₅₃	—	8	2	no	—
188	C₂²×#41	—	53	1	no	—
189	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
190	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×#117	—	53	2	no	—
193	#427	—	106	2	no	—
194	#427	—	106	2	no	—
195	C₂×#107	—	53	2	no	—
196	C₂×#106	—	53	2	no	—
197	#419	—	106	2	no	—
198	#418	—	106	2	no	—
199	#417	—	53	8	no	—
200	#416	—	106	4	no	—
201	#408	—	53	2	no	—
202	#408	—	53	2	no	—
203	#408	—	106	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
205	#343	—	53	8	no	—
206	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
207	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
208	C₅₃	#23646	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂×#41	—	53	2	no	—
210	C₂×#41	—	53	2	no	—
211	C₂×#41	—	106	1	no	—
212	C₂×#41	—	106	1	no	—
213	C₂×#41	—	106	4	no	—
214	C₂×#41	—	106	4	no	—
215	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
216	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
217	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
218	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
219	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
221	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
223	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
224	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
225	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
226	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
227	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
230	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
231	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#117	—	106	2	no	—
235	#117	—	106	2	no	—
236	#117	—	106	2	no	—
237	#117	—	106	2	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
240	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
241	#107	—	106	4	no	—
242	#106	—	106	4	no	—
243	#103	—	106	8	no	—
244	#102	—	106	8	no	—
245	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
246	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
247	C₂⁴	—	106	1	no	—
248	C₂⁴	#11719949	1	1	yes	characteristic
249	#41	—	106	8	no	—
250	#41	—	106	4	no	—
251	#41	—	106	4	no	—
252	#41	—	212	2	no	—
253	#41	—	212	2	no	—
254	#41	—	212	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
258	C₂×D₄	—	53	2	no	—
259	C₂×D₄	—	106	2	no	—
260	C₂×D₄	—	106	2	no	—
261	C₂×D₄	—	106	1	no	—
262	C₂×D₄	—	106	4	no	—
263	C₂×D₄	—	212	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
270	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	M₁₆	—	106	4	no	—
282	M₁₆	—	212	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₂×C₈	—	106	2	no	—
290	C₂×C₈	—	212	2	no	—
291	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
297	C₄²	—	212	2	no	—
298	C₄²	—	212	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	106	2	no	—
301	C₂³	—	212	4	no	—
302	C₂³	—	212	2	no	—
303	C₂³	#13133192	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#13133192	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#13133212	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	106	4	no	—
308	Q₈	—	212	2	no	—
309	D₄	—	106	4	no	—
310	D₄	—	212	4	no	—
311	D₄	—	212	4	no	—
312	D₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	—	106	2	no	—
314	C₂×C₄	—	424	4	no	—
315	C₂×C₄	—	212	4	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	—	212	4	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#13133192	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#13133199	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#13133199	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#13133201	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#13133201	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#13133212	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	2	no	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₈	—	212	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	424	4	no	—
342	C₂²	—	212	4	no	—
343	C₂²	—	212	2	no	—
344	C₂²	#16810550	1	2	yes	—
345	C₂²	#16810550	1	2	yes	—
346	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#13133212	1	2	yes	—
348	C₄	—	424	4	no	—
349	C₄	—	212	2	no	—
350	C₄	#16810550	1	2	yes	—
351	C₄	#16810550	1	2	yes	—
352	C₄	C₂×#13133199	1	2	yes	—
353	C₄	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
354	C₄	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
355	C₂	—	2	2	no	—
356	C₂	—	2	2	no	—
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	424	2	no	—
359	C₂	C₂×#16810550	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20284436	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#341	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
hypercenter	C₂×#341	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23646
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#341

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810661	C₂	semidirect
4. #20276162	C₂	semidirect
5. #20276157	C₂	semidirect
6. #20274453	C₂	semidirect
7. C₂×C₅₃×#341	C₂	semidirect
13. C₂×#13133151	C₂²	semidirect
14. C₂×#13133149	C₂²	semidirect
23. #16810391	C₂²	semidirect
26. C₅₃×#341	C₂²	semidirect
27. C₅₃×#341	C₂²	semidirect
181. C₂×#341	D₅₃	semidirect
206. #341	C₂×D₅₃	semidirect
207. #341	C₂×D₅₃	semidirect
208. C₅₃	#23646	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810661	2
#20283235	2
C₂×#16810589	2
#20276162	2
#20276157	2
#20274453	2
C₂×C₅₃×#341	2
#23646	53