Subgroups — #27413801

Order 13568.

808 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#13133242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276225	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276074	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276006	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20275824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20274621	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#13133133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133242	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810736	—	2	2	no	—
16	#16810736	—	2	2	no	—
17	#16810733	—	2	2	no	—
18	#16810721	—	2	2	no	—
19	C₄×#11719924	—	2	2	no	—
20	C₄×#11719922	—	2	2	no	—
21	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810666	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810627	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810624	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#13133133	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#13133133	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810391	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810391	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810388	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810388	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#433	—	2	2	no	—
36	C₅₃×#432	—	2	2	no	—
37	C₅₃×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
45	#13133242	—	2	4	no	—
46	#13133242	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
48	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
49	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
53	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
54	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
55	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
56	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
59	#13133153	—	2	4	no	—
60	#13133150	—	2	2	no	—
61	#13133149	—	2	2	no	—
62	#13133148	—	2	2	no	—
63	#13133141	—	2	2	no	—
64	#13133139	—	2	4	no	—
65	#13133138	—	2	2	no	—
66	#13133137	—	2	2	no	—
67	#13133137	—	2	2	no	—
68	#13133133	—	2	4	no	—
69	#13133133	—	2	4	no	—
70	#13133128	—	2	2	no	—
71	C₄×#88322	—	2	2	no	—
72	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₄×D₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
80	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
81	#117×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
89	#97×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
90	#97×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
93	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
94	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
108	C₂×D₂₁₂	#41	1	4	yes	—
109	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
112	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
113	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	#11719924	—	2	8	no	—
130	#11719922	—	2	8	no	—
131	#11719921	—	4	2	no	—
132	#11719921	—	4	2	no	—
133	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
135	#11719917	—	2	2	no	—
136	#11719917	—	2	2	no	—
137	#11719917	—	2	2	no	—
138	#11719917	#41	1	4	yes	—
139	C₂×#88322	—	2	2	no	—
140	C₂×#88322	—	2	2	no	—
141	D₄₂₄	—	2	8	no	—
142	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
148	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
149	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
150	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
159	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
164	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
166	D₂₁₂	—	2	4	no	—
167	D₂₁₂	—	2	4	no	—
168	D₂₁₂	—	4	2	no	—
169	D₂₁₂	—	4	2	no	—
170	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
171	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
172	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
175	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
176	#88322	—	2	4	no	—
177	#88322	—	4	2	no	—
178	#23719	—	53	1	no	maximal, Sylow
179	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	#529	1	2	yes	—
184	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
185	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
186	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
187	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
188	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
191	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
192	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
193	C₄×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₅₃	#525	1	2	yes	—
195	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
196	Dic₅₃	—	8	2	no	—
197	C₄×AGL(1,ℤ/8)	—	53	2	no	—
198	C₂×#442	—	53	1	no	—
199	#2923	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
200	#2090	—	53	1	no	—
201	#2079	—	53	1	no	—
202	#2063	—	53	2	no	—
203	#2051	—	53	2	no	—
204	#2045	—	53	1	no	—
205	#2018	—	53	1	no	—
206	#1778	—	53	1	no	—
207	C₄×#100	—	53	2	no	—
208	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
209	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
210	C₂×C₅₃	#2392	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	#3068	1	2	yes	—
212	D₅₃	—	8	4	no	—
213	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	2	no	—
214	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
215	C₄×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
217	#442	—	106	2	no	—
218	#442	—	106	2	no	—
219	#442	—	106	2	no	—
220	#440	—	106	2	no	—
221	C₄×SD₁₆	—	106	2	no	—
222	C₄×D₈	—	106	2	no	—
223	#433	—	2	2	no	—
224	#432	—	2	2	no	—
225	C₂×#108	—	53	2	no	—
226	#428	—	53	2	no	—
227	C₂×#106	—	53	1	no	—
228	#424	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	#424	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#418	—	53	2	no	—
231	#417	—	53	2	no	—
232	C₂×#102	—	53	2	no	—
233	C₂×#100	—	53	2	no	—
234	C₂×#100	—	53	2	no	—
235	#408	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#408	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
238	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	#343	—	53	2	no	—
241	#343	—	53	2	no	—
242	#341	—	53	1	no	—
243	#341	—	53	1	no	—
244	C₅₃	#23719	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
245	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
247	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
248	AGL(1,ℤ/8)	—	106	4	no	—
249	AGL(1,ℤ/8)	—	106	4	no	—
250	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
251	C₂×D₈	—	106	4	no	—
252	C₂×D₈	—	106	2	no	—
253	C₂×D₈	—	106	2	no	—
254	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
255	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
256	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₄×Q₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
261	C₄×D₄	—	2	2	no	—
262	C₄×D₄	—	106	2	no	—
263	C₄×D₄	—	106	2	no	—
264	C₄×D₄	—	106	2	no	—
265	C₄×D₄	—	106	2	no	—
266	C₄×D₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
267	#117	—	2	1	no	—
268	#117	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
270	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
271	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	#108	—	106	4	no	—
274	#107	—	106	2	no	—
275	#106	—	106	2	no	—
276	#106	—	106	2	no	—
277	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
279	#103	—	106	2	no	—
280	#102	—	106	2	no	—
281	#102	—	106	4	no	—
282	#102	—	106	2	no	—
283	#102	—	106	2	no	—
284	#100	—	106	4	no	—
285	#100	—	106	4	no	—
286	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
287	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
288	#97	—	2	1	no	—
289	#97	—	106	2	no	—
290	#97	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
291	#97	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
292	C₄×C₈	—	2	1	no	—
293	C₄×C₈	—	106	2	no	—
294	C₂⁴	—	106	2	no	—
295	#41	—	2	2	no	—
296	#41	—	2	2	no	—
297	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
298	C₂×D₄	—	2	1	no	—
299	C₂×D₄	—	53	4	no	—
300	C₂×D₄	—	106	2	no	—
301	C₂×D₄	—	106	2	no	—
302	C₂×D₄	—	106	2	no	—
303	C₂×D₄	—	106	2	no	—
304	C₂×D₄	—	106	2	no	—
305	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
306	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
310	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
311	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
312	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
313	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	SD₁₆	—	106	8	no	—
315	D₈	—	106	8	no	—
316	D₈	—	106	8	no	—
317	M₁₆	—	2	2	no	—
318	M₁₆	—	2	2	no	—
319	M₁₆	—	53	4	no	—
320	M₁₆	—	106	2	no	—
321	M₁₆	—	106	2	no	—
322	M₁₆	—	106	2	no	—
323	C₂×C₈	—	2	2	no	—
324	C₂×C₈	—	2	2	no	—
325	C₂×C₈	—	2	1	no	—
326	C₂×C₈	—	2	1	no	—
327	C₂×C₈	—	106	2	no	—
328	C₂×C₈	—	106	2	no	—
329	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
330	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
331	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
334	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
335	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
339	C₄²	—	2	2	no	—
340	C₄²	—	2	1	no	—
341	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
342	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	—	2	1	no	—
345	C₂³	—	106	4	no	—
346	C₂³	—	424	2	no	—
347	C₂³	—	424	2	no	—
348	C₂³	—	212	2	no	—
349	C₂³	—	212	2	no	—
350	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
351	Q₈	—	2	2	no	—
352	D₄	—	2	2	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	D₄	—	106	4	no	—
355	D₄	—	106	4	no	—
356	D₄	—	212	2	no	—
357	D₄	—	212	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	424	4	no	—
365	C₂×C₄	—	424	4	no	—
366	C₂×C₄	—	424	2	no	—
367	C₂×C₄	—	212	2	no	—
368	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	4	1	no	—
377	C₈	—	4	1	no	—
378	C₈	—	106	4	no	—
379	C₈	—	212	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	—	424	4	no	—
384	C₂²	—	424	4	no	—
385	C₂²	—	424	2	no	—
386	C₂²	—	424	2	no	—
387	C₂²	—	212	4	no	—
388	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#16811151	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	1	no	—
394	C₄	—	424	2	no	—
395	C₄	#16811130	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#16811135	1	2	yes	—
397	C₄	#16811169	1	1	yes	characteristic
398	C₂	—	2	2	no	—
399	C₂	—	8	1	no	—
400	C₂	—	424	4	no	—
401	C₂	#20277951	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#20284443	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133191
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2923	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#20275824	C₂
hypercenter	#2923	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23719
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #2923

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₄×#13133242	C₂	semidirect
2. C₂×#16810736	C₂	semidirect
3. #20276225	C₂	semidirect
4. #20276160	C₂	semidirect
5. #20276074	C₂	semidirect
6. #20276006	C₂	semidirect
7. #20275971	C₂	semidirect
9. #20274621	C₂	semidirect
10. C₄×#13133133	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2923	C₂	semidirect
199. #2923	D₅₃	semidirect
244. C₅₃	#23719	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#13133242	2
C₂×#16810736	2
#20276225	2
#20276160	2
#20276074	2
#20276006	2
#20275971	2
#20275824	2
#20274621	2
C₄×#13133133	2
C₅₃×#2923	2
#23719	53