Subgroups — #27413816

Order 13568.

744 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#13133250	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16810731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20276077	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276016	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20275984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20275837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×#13133135	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133250	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810731	—	2	2	no	—
17	#16810731	—	2	2	no	—
18	#16810731	—	2	2	no	—
19	#16810725	—	2	2	no	—
20	C₄×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
21	C₄×#11719913	—	2	2	no	—
22	#16810685	—	2	2	no	—
23	#16810678	—	2	2	no	—
24	#16810665	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810649	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810649	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810633	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810625	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#13133135	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#13133135	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810589	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810589	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16810391	C₂²	1	2	yes	—
37	#16810391	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₅₃×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
45	#13133250	—	2	4	no	—
46	#13133250	—	2	4	no	—
47	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
49	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
54	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
55	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
56	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
57	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
58	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
59	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
60	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#13133174	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
65	C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
66	#13133151	—	2	2	no	—
67	#13133149	—	2	2	no	—
68	#13133149	—	2	2	no	—
69	#13133146	—	2	2	no	—
70	#13133146	—	2	2	no	—
71	#13133142	—	2	4	no	—
72	#13133142	—	2	2	no	—
73	#13133142	—	2	2	no	—
74	#13133142	—	2	2	no	—
75	#13133139	—	2	2	no	—
76	#13133135	—	2	4	no	—
77	#13133135	—	2	4	no	—
78	#13133129	—	2	2	no	—
79	#13133129	—	2	2	no	—
80	#13133128	—	2	1	no	—
81	C₄×#88322	—	2	1	no	—
82	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#108×C₅₃	—	2	4	no	—
88	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
89	#97×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
90	#97×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
91	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	#11719945	—	2	2	no	—
98	#11719945	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	4	yes	—
109	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
110	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
111	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
112	M₁₆×C₅₃	#41	1	4	yes	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
123	#11719921	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	#11719919	—	2	2	no	—
128	#11719919	—	4	2	no	—
129	#11719919	—	4	2	no	—
130	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
132	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
133	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
134	#11719917	—	2	2	no	—
135	#11719917	—	2	2	no	—
136	C₂×#88322	—	2	1	no	—
137	C₂×#88322	—	2	1	no	—
138	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
139	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
140	#11719913	—	2	8	no	—
141	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
150	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
158	D₂₁₂	—	2	2	no	—
159	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
161	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
162	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
163	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
164	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
165	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
166	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
167	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
171	#88322	—	4	1	no	—
172	#88322	—	4	1	no	—
173	#23720	—	53	1	no	maximal, Sylow
174	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₅₃	#529	1	2	yes	—
177	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
181	C₄×C₅₃	#525	1	2	yes	—
182	C₄×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
184	Dic₅₃	—	4	4	no	—
185	Dic₅₃	—	4	1	no	—
186	Dic₅₃	—	4	2	no	—
187	Dic₅₃	—	8	2	no	—
188	C₄×#137	—	53	2	no	—
189	C₂×#441	—	53	1	no	—
190	#2923	—	53	1	no	—
191	#2090	—	53	1	no	—
192	#2079	—	53	1	no	—
193	#2064	—	53	2	no	—
194	#2052	—	53	2	no	—
195	#2047	—	53	1	no	—
196	#2020	—	53	1	no	—
197	#1778	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
198	C₄×#101	—	53	2	no	—
199	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
200	C₂×C₅₃	#2392	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#3069	1	2	yes	—
202	D₅₃	—	8	1	no	—
203	C₂×#137	—	53	2	no	—
204	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
205	C₄×#41	—	53	1	no	—
206	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
207	#441	—	106	2	no	—
208	#441	—	106	2	no	—
209	#441	—	106	2	no	—
210	#440	—	106	2	no	—
211	C₄×Q₁₆	—	106	2	no	—
212	C₄×SD₁₆	—	106	2	no	—
213	#433	—	106	2	no	—
214	#432	—	106	2	no	—
215	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
216	#428	—	53	2	no	—
217	C₂×#106	—	53	1	no	—
218	#424	—	53	1	no	—
219	#424	—	53	1	no	—
220	#419	—	53	2	no	—
221	#417	—	53	2	no	—
222	C₂×#103	—	53	2	no	—
223	C₂×#101	—	53	2	no	—
224	C₂×#101	—	53	2	no	—
225	#408	—	53	1	no	—
226	#408	—	53	1	no	—
227	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
228	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
229	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#343	—	53	2	no	—
231	#343	—	53	2	no	—
232	#341	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#341	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₅₃	#23720	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
235	C₂×#41	—	53	1	no	—
236	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
237	#137	—	106	4	no	—
238	#137	—	106	4	no	—
239	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
240	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
241	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
242	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
243	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
244	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
245	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
247	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
250	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
251	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
252	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
253	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
254	C₄×D₄	—	53	2	no	—
255	C₄×D₄	—	106	2	no	—
256	#117	—	53	1	no	—
257	#117	—	106	1	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
260	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
261	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
262	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	#108	—	2	4	no	—
264	#107	—	106	2	no	—
265	#106	—	106	2	no	—
266	#106	—	106	2	no	—
267	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
268	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
269	#103	—	106	2	no	—
270	#103	—	106	2	no	—
271	#103	—	106	2	no	—
272	#103	—	106	4	no	—
273	#102	—	106	2	no	—
274	#101	—	106	4	no	—
275	#101	—	106	4	no	—
276	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
277	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
278	#97	—	2	2	no	—
279	#97	—	106	1	no	—
280	#97	D₂₁₂	1	2	yes	—
281	#97	D₂₁₂	1	2	yes	—
282	C₄×C₈	—	2	2	no	—
283	C₄×C₈	—	106	1	no	—
284	#41	—	106	2	no	—
285	#41	—	106	2	no	—
286	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
287	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
289	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
291	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
293	C₂×D₄	—	53	1	no	—
294	C₂×D₄	—	106	1	no	—
295	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
299	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	Q₁₆	—	106	8	no	—
302	Q₁₆	—	106	8	no	—
303	SD₁₆	—	106	8	no	—
304	M₁₆	—	2	2	no	—
305	M₁₆	—	2	2	no	—
306	M₁₆	—	2	2	no	—
307	M₁₆	—	106	2	no	—
308	M₁₆	—	106	2	no	—
309	M₁₆	#11719945	1	4	yes	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	106	1	no	—
315	C₂×C₈	—	106	1	no	—
316	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
317	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
318	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
326	C₄²	—	106	2	no	—
327	C₄²	—	106	1	no	—
328	C₄²	—	212	2	no	—
329	C₄²	—	212	2	no	—
330	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
333	C₂³	—	106	1	no	—
334	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	106	4	no	—
336	Q₈	—	106	2	no	—
337	Q₈	—	106	4	no	—
338	Q₈	—	212	2	no	—
339	Q₈	—	212	2	no	—
340	D₄	—	106	2	no	—
341	D₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	106	2	no	—
344	C₂×C₄	—	106	1	no	—
345	C₂×C₄	—	106	4	no	—
346	C₂×C₄	—	424	2	no	—
347	C₂×C₄	—	424	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	—	212	2	no	—
351	C₂×C₄	—	212	1	no	—
352	C₂×C₄	—	212	1	no	—
353	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
359	C₈	—	2	4	no	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	212	1	no	—
364	C₈	—	212	1	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	212	2	no	—
367	C₂²	—	212	1	no	—
368	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#16811160	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	424	2	no	—
373	C₄	—	212	2	no	—
374	C₄	—	212	1	no	—
375	C₄	—	212	4	no	—
376	C₄	#16811132	1	2	yes	—
377	C₄	#16811135	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#16811173	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	424	1	no	—
381	C₂	#20277955	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#20284453	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1778	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	C₂×#11719945	C₂³
hypercenter	#1778	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23720
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1778

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810731	C₂	semidirect
4. #20276227	C₂	semidirect
6. #20276077	C₂	semidirect
8. #20275984	C₂	semidirect
10. C₄×#13133135	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1778	C₂	semidirect
197. #1778	D₅₃	semidirect
234. C₅₃	#23720	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#13133250	2
C₂×#16810731	2
#20283364	2
#20276227	2
#20276162	2
#20276077	2
#20276016	2
#20275984	2
#20275837	2
C₄×#13133135	2
C₅₃×#1778	2
#23720	53