Subgroups — #27413901

Order 13568.

1314 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810629	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276247	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276235	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#11719921	—	2	2	no	—
13	#16810665	—	2	8	no	—
14	C₂×#13133151	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×#13133149	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#16810629	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810525	—	2	2	no	—
20	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#16810489	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#16810483	—	2	2	no	—
26	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂⁴×D₅₃	—	2	1	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	#13133176	—	2	4	no	—
40	#13133176	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
51	C₂×#11719921	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	#13133151	—	2	8	no	—
54	#13133149	—	2	8	no	—
55	#13133139	—	2	8	no	—
56	#13133139	—	2	8	no	—
57	#13133124	—	2	4	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
108	#11719921	—	4	8	no	—
109	#11719921	—	4	8	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
158	D₂₁₂	—	2	8	no	—
159	D₂₁₂	—	4	4	no	—
160	D₂₁₂	—	4	8	no	—
161	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
162	#23731	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	#399	1	4	yes	—
168	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
172	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
173	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
181	C₄×C₅₃	#399	1	4	yes	—
182	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
183	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
184	Dic₅₃	—	8	2	no	—
185	Dic₅₃	—	8	2	no	—
186	Dic₅₃	—	8	2	no	—
187	C₂×#428	—	53	2	no	—
188	C₂×#418	—	53	2	no	—
189	C₂×#390	—	53	1	no	—
190	#2285	—	53	1	no	—
191	#2094	—	53	2	no	—
192	#2093	—	53	2	no	—
193	#2092	—	53	4	no	—
194	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
195	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
196	C₂×C₅₃	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3077	1	2	yes	—
198	C₂×C₅₃	#3094	1	2	yes	—
199	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	#3153	1	1	yes	characteristic
201	D₅₃	—	8	4	no	—
202	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
203	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×#117	—	53	2	no	—
205	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
206	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
207	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	#428	—	106	8	no	—
209	C₂×#107	—	53	4	no	—
210	C₂×#106	—	53	4	no	—
211	#418	—	106	8	no	—
212	C₂×#102	—	53	4	no	—
213	C₂×#102	—	53	4	no	—
214	#390	—	53	2	no	—
215	#390	—	53	2	no	—
216	#390	—	106	2	no	—
217	#384	—	53	1	no	—
218	#384	—	53	1	no	—
219	#382	—	53	2	no	—
220	#380	—	106	2	no	—
221	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
222	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
223	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
224	C₅₃	#23731	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂⁵	—	106	1	no	—
226	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
229	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
230	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
231	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
232	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
233	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
234	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
236	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
237	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	8	yes	—
238	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
239	#117	—	106	4	no	—
240	#117	—	106	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
252	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
254	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
255	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#107	—	106	8	no	—
258	#106	—	106	8	no	—
259	#102	—	106	8	no	—
260	#102	—	106	8	no	—
261	#95	—	106	4	no	—
262	C₂⁴	—	106	4	no	—
263	C₂⁴	—	106	2	no	—
264	C₂⁴	—	212	4	no	—
265	C₂⁴	—	212	4	no	—
266	C₂⁴	—	212	2	no	—
267	C₂⁴	—	212	2	no	—
268	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
269	C₂×D₄	—	53	4	no	—
270	C₂×D₄	—	106	16	no	—
271	C₂×D₄	—	106	4	no	—
272	C₂×D₄	—	106	4	no	—
273	C₂×D₄	—	106	4	no	—
274	C₂×D₄	—	106	2	no	—
275	C₂×D₄	—	212	2	no	—
276	C₂×D₄	—	212	8	no	—
277	C₂×D₄	—	212	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
286	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	M₁₆	—	2	16	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
298	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	212	4	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	106	4	no	—
316	C₂³	—	424	4	no	—
317	C₂³	—	424	8	no	—
318	C₂³	—	424	4	no	—
319	C₂³	—	212	16	no	—
320	C₂³	—	212	8	no	—
321	C₂³	—	212	2	no	—
322	C₂³	—	212	4	no	—
323	C₂³	—	212	2	no	—
324	C₂³	—	212	4	no	—
325	C₂³	#13133197	1	2	yes	—
326	C₂³	#13133201	1	2	yes	—
327	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
328	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
329	D₄	—	106	8	no	—
330	D₄	—	212	8	no	—
331	D₄	—	212	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	424	4	no	—
339	C₂×C₄	—	212	4	no	—
340	C₂×C₄	—	212	4	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	—	212	4	no	—
345	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#13133197	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	#13133201	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#13133201	1	8	yes	—
349	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#13133245	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
355	C₈	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	424	16	no	—
361	C₂²	—	424	2	no	—
362	C₂²	—	424	4	no	—
363	C₂²	—	424	2	no	—
364	C₂²	—	212	8	no	—
365	C₂²	—	212	4	no	—
366	C₂²	#16810560	1	4	yes	—
367	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#13133245	1	2	yes	—
371	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	424	2	no	—
375	C₄	—	424	2	no	—
376	C₄	—	424	2	no	—
377	C₄	#16810560	1	4	yes	—
378	C₄	C₂×#13133197	1	2	yes	—
379	C₄	C₂×#13133201	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	4	no	—
381	C₂	—	424	4	no	—
382	C₂	C₂×#16810560	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20284514	1	2	yes	—
384	C₂	#20284656	1	2	yes	—
385	C₂	#20285167	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20285181	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23731
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810665	C₂	semidirect
4. #20277122	C₂	semidirect
5. #20276247	C₂	semidirect
6. #20276242	C₂	semidirect
7. #20276235	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
14. C₂×#13133151	C₂²	semidirect
15. C₂×#13133149	C₂²	semidirect
22. #16810493	C₂²	semidirect
23. #16810493	C₂²	semidirect
24. #16810489	C₂²	semidirect
29. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
30. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
194. #1728	D₅₃	semidirect
222. #336	C₂×D₅₃	semidirect
223. #336	C₂×D₅₃	semidirect
224. C₅₃	#23731	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810665	2
C₂×#16810629	2
C₂×#16810525	2
#20277122	2
#20276247	2
#20276242	2
#20276235	2
C₅₃×#1728	2
#23731	53