Subgroups — #27413903

Order 13568.

1314 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810666	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810627	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276249	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276244	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276239	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₅₃×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#11719921	—	2	2	no	—
13	#16810666	—	2	8	no	—
14	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#16810627	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810525	—	2	2	no	—
20	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810378	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₅₃×#382	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₅₃×#380	—	2	2	no	—
30	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂⁴×D₅₃	—	2	1	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719917	D₄	1	8	yes	—
42	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
48	C₂×#11719921	—	4	8	no	—
49	#13133150	—	2	8	no	—
50	#13133148	—	2	8	no	—
51	#13133137	—	2	8	no	—
52	#13133137	—	2	8	no	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
56	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
111	#11719921	—	4	8	no	—
112	#11719921	—	4	8	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	#11719917	—	2	16	no	—
116	C₂×#88322	—	2	4	no	—
117	C₂×#88322	—	2	4	no	—
118	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
158	D₂₁₂	—	2	8	no	—
159	D₂₁₂	—	4	4	no	—
160	D₂₁₂	—	4	8	no	—
161	#88322	—	2	8	no	—
162	#23731	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	#399	1	4	yes	—
168	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
172	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
173	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
181	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
182	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
183	C₄×C₅₃	#399	1	4	yes	—
184	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
185	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
186	Dic₅₃	—	8	2	no	—
187	C₂×#428	—	53	2	no	—
188	C₂×#418	—	53	2	no	—
189	C₂×#390	—	53	1	no	—
190	#2285	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
191	#2094	—	53	2	no	—
192	#2093	—	53	2	no	—
193	#2092	—	53	4	no	—
194	#1728	—	53	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
196	C₂×C₅₃	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3077	1	2	yes	—
198	C₂×C₅₃	#3094	1	2	yes	—
199	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	#3153	1	1	yes	characteristic
201	D₅₃	—	8	4	no	—
202	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
203	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
204	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
206	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
207	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	#428	—	106	8	no	—
209	C₂×#107	—	53	4	no	—
210	C₂×#106	—	53	4	no	—
211	#418	—	106	8	no	—
212	C₂×#102	—	53	4	no	—
213	C₂×#102	—	53	4	no	—
214	#390	—	53	2	no	—
215	#390	—	53	2	no	—
216	#390	—	106	2	no	—
217	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
218	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
219	#382	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
220	#380	—	2	2	no	—
221	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	#336	—	53	2	no	—
223	#336	—	53	2	no	—
224	C₅₃	#23731	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂⁵	—	106	1	no	—
226	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
229	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
230	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
231	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
232	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
233	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
236	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
237	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
238	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
239	#117	—	2	4	no	—
240	#117	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
247	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
252	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#107	—	106	8	no	—
258	#106	—	106	8	no	—
259	#102	—	106	8	no	—
260	#102	—	106	8	no	—
261	#95	—	2	4	no	—
262	C₂⁴	—	106	4	no	—
263	C₂⁴	—	106	2	no	—
264	C₂⁴	—	212	4	no	—
265	C₂⁴	—	212	4	no	—
266	C₂⁴	—	212	2	no	—
267	C₂⁴	—	212	2	no	—
268	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×D₄	—	53	4	no	—
270	C₂×D₄	—	106	4	no	—
271	C₂×D₄	—	106	16	no	—
272	C₂×D₄	—	106	4	no	—
273	C₂×D₄	—	106	4	no	—
274	C₂×D₄	—	106	2	no	—
275	C₂×D₄	—	212	2	no	—
276	C₂×D₄	—	212	8	no	—
277	C₂×D₄	—	212	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
286	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	M₁₆	—	106	16	no	—
295	C₂×C₈	—	53	8	no	—
296	C₂×C₈	—	106	4	no	—
297	C₂×C₈	—	106	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	106	4	no	—
316	C₂³	—	424	8	no	—
317	C₂³	—	424	4	no	—
318	C₂³	—	424	4	no	—
319	C₂³	—	212	16	no	—
320	C₂³	—	212	8	no	—
321	C₂³	—	212	2	no	—
322	C₂³	—	212	4	no	—
323	C₂³	—	212	2	no	—
324	C₂³	—	212	4	no	—
325	C₂³	#13133193	1	2	yes	—
326	C₂³	#13133200	1	2	yes	—
327	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
328	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	D₄	—	106	8	no	—
330	D₄	—	212	8	no	—
331	D₄	—	212	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	424	4	no	—
343	C₂×C₄	—	212	4	no	—
344	C₂×C₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	#13133200	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#13133202	1	8	yes	—
349	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
355	C₈	—	106	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	424	16	no	—
361	C₂²	—	424	4	no	—
362	C₂²	—	424	2	no	—
363	C₂²	—	424	2	no	—
364	C₂²	—	212	8	no	—
365	C₂²	—	212	4	no	—
366	C₂²	#16810558	1	4	yes	—
367	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#13133200	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#13133242	1	2	yes	—
371	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	—	8	2	no	—
376	C₄	—	424	2	no	—
377	C₄	#16810558	1	4	yes	—
378	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
379	C₄	C₂×#13133202	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	4	no	—
381	C₂	—	424	4	no	—
382	C₂	C₂×#16810558	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20284508	1	2	yes	—
384	C₂	#20284655	1	2	yes	—
385	C₂	#20285168	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20285183	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2285	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₂²
hypercenter	#2285	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23731
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2285

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810666	C₂	semidirect
4. #20276249	C₂	semidirect
5. #20276244	C₂	semidirect
6. #20276239	C₂	semidirect
7. #20274409	C₂	semidirect
8. C₅₃×#2285	C₂	semidirect
14. C₂×#13133150	C₂²	semidirect
15. C₂×#13133148	C₂²	semidirect
22. #16810378	C₂²	semidirect
23. #16810378	C₂²	semidirect
26. C₅₃×#384	C₂²	semidirect
27. C₅₃×#384	C₂²	semidirect
28. C₅₃×#382	C₂²	semidirect
190. #2285	D₅₃	semidirect
217. #384	C₂×D₅₃	semidirect
218. #384	C₂×D₅₃	semidirect
219. #382	C₂×D₅₃	semidirect
224. C₅₃	#23731	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810666	2
C₂×#16810627	2
C₂×#16810525	2
#20276249	2
#20276244	2
#20276239	2
#20274409	2
C₅₃×#2285	2
#23731	53