Subgroups — #27414018

Order 13568.

902 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277199	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276281	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20276276	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20274408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#1736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719919	—	2	2	no	—
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810522	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810522	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810498	—	2	2	no	—
18	#16810492	—	2	2	no	—
19	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
22	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#340	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
32	C₂³×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
33	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	#13133176	—	2	2	no	—
38	#13133176	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
48	C₂×#11719919	—	4	8	no	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#13133124	—	2	2	no	—
57	#13133124	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
65	#117×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
114	#11719919	—	4	8	no	—
115	#11719919	—	4	8	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	#11719917	—	4	4	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
129	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
131	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#125	1	4	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#125	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂×Dic₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
163	C₂×Dic₅₃	#137	1	4	yes	—
164	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
165	#88322	—	4	2	no	—
166	#23745	—	53	1	no	maximal, Sylow
167	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₅₃	#400	1	4	yes	—
172	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
176	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
177	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
178	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
179	C₄×C₅₃	#400	1	4	yes	—
180	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
184	Dic₅₃	—	2	4	no	—
185	Dic₅₃	—	2	4	no	—
186	Dic₅₃	—	8	2	no	—
187	Dic₅₃	—	8	2	no	—
188	#2296	—	53	1	no	—
189	C₂×#384	—	53	1	no	—
190	#2100	—	53	4	no	—
191	#2099	—	53	4	no	—
192	#1736	—	53	1	no	—
193	#1736	—	53	1	no	—
194	#1736	—	53	1	no	—
195	#1736	D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	#1728	—	53	1	no	—
197	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
198	C₂×C₅₃	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	#3079	1	2	yes	—
200	C₂×C₅₃	#3092	1	2	yes	—
201	C₂×C₅₃	#3138	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3139	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
204	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂×#117	—	53	1	no	—
206	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
208	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
209	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
211	#389	—	53	2	no	—
212	#389	—	53	2	no	—
213	#385	—	106	2	no	—
214	#384	—	53	2	no	—
215	#384	—	53	2	no	—
216	#384	—	106	2	no	—
217	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
218	#340	—	53	4	no	—
219	#340	—	53	4	no	—
220	#340	—	53	4	no	—
221	#340	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
222	#336	—	53	2	no	—
223	#336	—	53	2	no	—
224	C₅₃	#23745	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
227	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
228	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
230	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
231	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
232	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
233	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
234	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
235	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
236	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
237	#117	—	2	2	no	—
238	#117	—	106	2	no	—
239	#117	—	106	2	no	—
240	#117	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
254	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
258	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
261	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
262	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
263	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
264	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
265	#95	—	106	2	no	—
266	#95	—	106	2	no	—
267	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
281	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	M₁₆	—	212	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	106	2	no	—
295	C₂×C₈	—	106	2	no	—
296	C₂×C₈	—	106	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
310	C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	106	4	no	—
315	C₄²	—	106	1	no	—
316	C₄²	—	106	1	no	—
317	C₄²	—	106	1	no	—
318	C₄²	—	106	1	no	—
319	C₄²	—	212	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	#13133194	1	2	yes	—
323	C₂³	#13133202	1	2	yes	—
324	C₂³	#13133203	1	2	yes	—
325	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	53	4	no	—
333	C₂×C₄	—	53	4	no	—
334	C₂×C₄	—	106	16	no	—
335	C₂×C₄	—	106	2	no	—
336	C₂×C₄	—	106	2	no	—
337	C₂×C₄	—	106	2	no	—
338	C₂×C₄	—	106	2	no	—
339	C₂×C₄	—	424	4	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	4	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	#13133194	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#13133202	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#13133203	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#13133208	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#13133209	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#13133210	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#13133212	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
358	C₈	—	4	2	no	—
359	C₈	—	212	2	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	#16810565	1	4	yes	—
365	C₂²	C₂×#13133194	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#13133202	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#13133203	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	AGL(1,ℤ/8)×D₅₃	1	2	yes	—
369	C₂²	#137×D₅₃	1	2	yes	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	106	4	no	—
373	C₄	—	106	4	no	—
374	C₄	—	424	2	no	—
375	C₄	—	424	2	no	—
376	C₄	#16810565	1	4	yes	—
377	C₄	C₂×#13133208	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×#13133209	1	1	yes	characteristic
379	C₄	C₂×#13133210	1	1	yes	characteristic
380	C₄	C₂×#13133212	1	1	yes	characteristic
381	C₂	—	2	4	no	—
382	C₂	C₂×#16810565	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20284526	1	2	yes	—
384	C₂	#20284641	1	2	yes	—
385	C₂	#20285087	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20285093	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1736	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#1736	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#23745
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ #1736

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20276281	C₂	semidirect
4. #20276276	C₂	semidirect
224. C₅₃	#23745	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277199	2
C₂×#16810492	2
#20276281	2
#20276276	2
#20274436	2
#20274435	2
#20274434	2
#20274408	2
C₅₃×#1736	2
#23745	53