Subgroups — #27419970

Order 13568.

1308 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810899	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20283952	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20283409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275984	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275628	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₅₃×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133250	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
13	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
14	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
15	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133223	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16811134	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810899	—	2	8	no	—
20	#16810781	—	2	4	no	—
21	#16810764	—	2	4	no	—
22	#16810694	—	2	2	no	—
23	C₈×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
24	#16810649	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810633	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810589	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810587	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810578	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#407	C₂²	1	2	yes	—
34	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
41	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	#13133250	—	2	8	no	—
44	#13133250	—	4	4	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
46	C₂×Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
47	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
49	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
50	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
51	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
52	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
53	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	8	yes	complemented
54	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
55	#13133223	—	2	4	no	—
56	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#11719912	—	2	1	no	—
59	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
60	#13133200	—	2	1	no	—
61	#13133196	D₄	1	2	yes	—
62	#13133191	D₄	1	2	yes	—
63	#13133186	—	2	1	no	—
64	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
65	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#13133146	—	2	2	no	—
67	#13133142	—	2	8	no	—
68	#13133135	—	2	8	no	—
69	#13133135	—	4	4	no	—
70	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
71	#13133129	—	2	2	no	—
72	#13133127	—	2	1	no	—
73	C₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#108×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂⁴×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
95	#11719945	—	2	2	no	—
96	#11719945	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
112	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
123	#11719921	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	#11719919	—	2	2	no	—
126	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
127	#11719917	—	2	2	no	—
128	#11719917	—	2	2	no	—
129	C₂×#88322	—	2	1	no	—
130	C₂×#88322	—	2	1	no	—
131	Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
132	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
133	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
134	Dic₂₁₂	—	4	8	no	—
135	#11719913	—	4	8	no	—
136	#11719912	—	4	2	no	—
137	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
141	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
152	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
160	D₂₁₂	—	2	2	no	—
161	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
162	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
163	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
164	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
165	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
166	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
167	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
168	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
169	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₈×C₅₃	#120	1	2	yes	—
172	C₈×C₅₃	#120	1	2	yes	—
173	#88322	—	4	1	no	—
174	#88322	—	4	1	no	—
175	#24282	—	53	1	no	maximal, Sylow
176	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	#473	1	4	yes	complemented
181	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₅₃	#546	1	2	yes	—
183	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
184	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
189	Dic₅₃	—	4	8	no	—
190	Dic₅₃	—	4	1	no	—
191	Dic₅₃	—	4	2	no	—
192	C₂³×Q₁₆	—	53	1	no	—
193	C₂×#473	—	53	2	no	—
194	#3004	—	53	2	no	—
195	#2929	—	53	1	no	—
196	#2047	—	53	2	no	—
197	#2020	—	53	2	no	—
198	#1979	—	53	2	no	—
199	#1810	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
200	#1784	—	53	2	no	—
201	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
202	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
203	C₂×C₅₃	#2408	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	C₂×#473	1	2	yes	—
205	D₅₃	—	8	1	no	—
206	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
207	C₂×#137	—	53	4	no	—
208	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
209	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
210	C₂²×Q₁₆	—	106	8	no	—
211	C₂²×Q₁₆	—	106	2	no	—
212	C₂²×Q₁₆	—	106	2	no	—
213	C₂×#131	—	53	1	no	—
214	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#525	—	53	1	no	—
216	#473	—	106	8	no	—
217	#451	—	106	4	no	—
218	#448	—	106	4	no	—
219	#435	—	106	2	no	—
220	C₈×D₄	—	106	2	no	—
221	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
222	#424	—	53	1	no	—
223	#419	—	53	4	no	—
224	C₂×#101	—	53	4	no	—
225	C₂×#101	—	53	4	no	—
226	#408	—	53	1	no	—
227	#407	—	53	1	no	—
228	#407	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
229	#405	—	53	1	no	—
230	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
231	C₅₃	#24282	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
232	C₂×#41	—	53	1	no	—
233	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
234	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
235	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
236	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
237	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
238	C₂²×Q₈	—	212	4	no	—
239	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
240	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	#137	—	106	8	no	—
242	#137	—	212	4	no	—
243	C₂×Q₁₆	—	53	8	no	—
244	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
245	C₂×Q₁₆	—	106	16	no	—
246	C₂×Q₁₆	—	106	16	no	—
247	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
248	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
249	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
250	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
251	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
252	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
253	#131	—	106	4	no	—
254	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
255	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
256	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
257	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
258	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
260	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
261	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
262	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	#123	—	106	1	no	—
265	C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
266	#121	—	53	2	no	—
267	#120	—	106	1	no	—
268	C₄×D₄	—	106	2	no	—
269	#117	—	53	1	no	—
270	#108	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
272	#103	—	106	8	no	—
273	#101	—	106	8	no	—
274	#101	—	212	4	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
277	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
278	#97	—	106	1	no	—
279	C₄×C₈	—	106	1	no	—
280	C₂⁴	#11719949	1	1	yes	characteristic
281	#41	—	106	2	no	—
282	#41	—	106	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
284	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
285	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
289	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
291	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
292	C₂×Q₈	—	212	16	no	—
293	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
294	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
295	C₂×D₄	—	53	1	no	—
296	C₂×D₄	—	106	2	no	—
297	C₂×D₄	—	106	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
301	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
302	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
303	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
304	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	#11719949	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	Q₁₆	—	106	16	no	—
309	Q₁₆	—	106	8	no	—
310	Q₁₆	—	106	8	no	—
311	Q₁₆	—	212	8	no	—
312	SD₁₆	—	212	8	no	—
313	M₁₆	—	2	4	no	—
314	M₁₆	—	2	4	no	—
315	M₁₆	—	106	2	no	—
316	M₁₆	—	106	2	no	—
317	M₁₆	—	212	2	no	—
318	C₂×C₈	—	2	2	no	—
319	C₂×C₈	—	2	4	no	—
320	C₂×C₈	—	2	4	no	—
321	C₂×C₈	—	2	4	no	—
322	C₂×C₈	—	106	1	no	—
323	C₂×C₈	—	106	1	no	—
324	C₂×C₈	—	212	2	no	—
325	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
326	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
329	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
334	C₄²	—	106	1	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	—	106	1	no	—
338	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
339	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	106	8	no	—
341	Q₈	—	106	8	no	—
342	Q₈	—	106	2	no	—
343	Q₈	—	212	16	no	—
344	Q₈	—	212	4	no	—
345	Q₈	—	212	4	no	—
346	D₄	—	106	2	no	—
347	D₄	—	212	2	no	—
348	D₄	—	212	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	106	8	no	—
354	C₂×C₄	—	106	2	no	—
355	C₂×C₄	—	106	1	no	—
356	C₂×C₄	—	212	16	no	—
357	C₂×C₄	—	212	4	no	—
358	C₂×C₄	—	212	4	no	—
359	C₂×C₄	—	212	1	no	—
360	C₂×C₄	—	212	1	no	—
361	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₈	—	212	1	no	—
369	C₈	—	212	1	no	—
370	C₈	#13133187	1	2	yes	—
371	C₈	#13133187	1	2	yes	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	212	2	no	—
377	C₂²	—	212	1	no	—
378	C₂²	#16810899	1	4	yes	complemented
379	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#16811264	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	212	2	no	—
383	C₄	—	212	8	no	—
384	C₄	—	212	1	no	—
385	C₄	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#16811192	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#16811257	1	2	yes	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	—	424	1	no	—
391	C₂	#20278072	1	1	yes	characteristic
392	C₂	C₂×#16810899	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1810	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#16811134	C₂²
hypercenter	#1810	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#24282
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #1810

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
2. C₂×#16810899	C₂	semidirect
5. #20275984	C₂	semidirect
6. #20275837	C₂	semidirect
7. #20275628	C₂	semidirect
8. #20274638	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1810	C₂	semidirect
53. C₂×Dic₂₁₂	D₄	semidirect
180. C₂²×C₅₃	#473	semidirect
199. #1810	D₅₃	semidirect
231. C₅₃	#24282	semidirect
378. C₂²	#16810899	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₁₂	2
C₂×#16810899	2
#20283952	2
#20283409	2
#20275984	2
#20275837	2
#20275628	2
#20274638	2
C₅₃×#1810	2
#24282	53