Subgroups — #27420338

Order 13568.

966 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284516	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#13133215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276057	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275873	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275693	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275108	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274930	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274711	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#3502	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133215	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810927	—	2	4	no	—
13	#16810915	—	2	2	no	—
14	#16810905	—	2	2	no	—
15	#16810666	C₂²	1	4	yes	—
16	#16810647	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810631	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133136	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810530	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810528	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810518	—	2	2	no	—
22	#16810492	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#11719919	—	2	2	no	—
24	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810382	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810382	C₂²	1	4	yes	—
28	Q₈²×C₅₃	—	2	2	no	—
29	C₅₃×#557	—	2	2	no	—
30	C₅₃×#557	—	2	4	no	—
31	C₅₃×#544	—	2	2	no	—
32	C₅₃×#544	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#533	—	2	2	no	—
34	C₅₃×#533	C₂²	1	2	yes	—
35	C₅₃×#519	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
39	#13133215	—	2	2	no	—
40	#13133215	Q₈	1	4	yes	complemented
41	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
42	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
46	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#13133150	—	2	4	no	—
53	#13133148	—	2	4	no	—
54	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
55	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
56	#13133140	—	2	4	no	—
57	#13133140	—	2	4	no	—
58	#13133136	—	2	4	no	—
59	#13133124	—	2	2	no	—
60	#13133124	—	2	2	no	—
61	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
65	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
67	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
68	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
69	#125×C₅₃	—	2	8	no	—
70	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
71	#125×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
72	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
84	#117×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	#11719919	—	2	8	no	—
130	#11719919	—	4	4	no	—
131	#11719919	—	4	2	no	—
132	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
134	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
137	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
138	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	#11719917	—	2	4	no	—
140	#11719917	—	2	4	no	—
141	C₂×#88322	—	2	4	no	—
142	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
144	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
145	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
146	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
147	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
164	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
170	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
172	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
173	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
175	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
176	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
177	#88322	—	4	4	no	—
178	#24315	—	53	1	no	maximal, Sylow
179	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
186	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
188	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
189	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
190	C₄×C₅₃	#456	1	2	yes	—
191	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
192	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
193	Dic₅₃	—	2	4	no	—
194	Dic₅₃	—	4	2	no	—
195	Dic₅₃	—	4	2	no	—
196	Dic₅₃	—	8	1	no	—
197	#3502	D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	#3078	—	53	2	no	—
199	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
200	#2060	—	53	2	no	—
201	#2028	—	53	2	no	—
202	#1994	—	53	2	no	—
203	#1886	—	53	2	no	—
204	#1857	—	53	2	no	—
205	#1801	—	53	1	no	—
206	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
207	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
208	C₂×C₅₃	#2409	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	C₂×#456	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₅₃	#3018	1	1	yes	characteristic
211	Q₈²	—	2	2	no	—
212	#557	—	2	2	no	—
213	#557	—	2	4	no	—
214	#544	—	2	2	no	—
215	#544	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
216	#533	—	2	2	no	—
217	#533	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
219	#519	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
221	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	#479	—	106	4	no	—
223	#477	—	106	2	no	—
224	#475	—	106	2	no	—
225	#428	—	53	4	no	—
226	#423	—	53	2	no	—
227	#419	—	53	4	no	—
228	C₂×#101	—	53	2	no	—
229	#391	—	53	1	no	—
230	#391	—	53	1	no	—
231	#389	—	106	2	no	—
232	#384	—	53	1	no	—
233	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
234	C₄³	—	53	1	no	—
235	#343	—	53	2	no	—
236	#339	—	53	4	no	—
237	#339	—	53	4	no	—
238	C₅₃	#24315	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
239	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
240	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
242	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
244	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
245	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
247	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
248	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
249	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
250	#125	—	2	4	no	—
251	#125	—	2	8	no	—
252	#125	—	2	4	no	—
253	#125	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
257	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
261	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
262	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
263	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
264	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
265	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
266	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
267	#117	—	2	4	no	—
268	#117	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
270	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
271	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
272	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
273	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
276	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
277	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
278	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
279	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
280	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	#107	—	106	4	no	—
283	#106	—	106	4	no	—
284	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
285	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
286	#103	—	106	4	no	—
287	#103	—	106	4	no	—
288	#101	—	106	4	no	—
289	#95	—	106	2	no	—
290	#95	—	106	2	no	—
291	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
292	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
294	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
295	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
296	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
297	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
298	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
299	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
300	C₂×Q₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
301	C₂×Q₈	#11719949	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
303	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
304	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
305	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
306	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
309	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	M₁₆	—	106	4	no	—
312	M₁₆	—	106	4	no	—
313	C₂×C₈	—	106	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
325	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
328	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
329	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
330	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₄²	—	2	8	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	2	no	—
334	C₄²	—	2	4	no	—
335	C₄²	—	53	2	no	—
336	C₄²	—	106	4	no	—
337	C₄²	—	106	1	no	—
338	C₄²	—	106	2	no	—
339	C₄²	—	212	2	no	—
340	C₄²	—	212	1	no	—
341	C₄²	—	212	1	no	—
342	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
343	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	2	4	no	—
346	Q₈	—	2	4	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	Q₈	—	8	2	no	—
349	Q₈	—	8	4	no	—
350	Q₈	—	106	4	no	—
351	Q₈	—	212	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	106	2	no	—
361	C₂×C₄	—	106	2	no	—
362	C₂×C₄	—	106	2	no	—
363	C₂×C₄	—	106	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	2	no	—
365	C₂×C₄	—	212	2	no	—
366	C₂×C₄	—	212	1	no	—
367	C₂×C₄	—	212	1	no	—
368	C₂×C₄	—	212	1	no	—
369	C₂×C₄	—	212	1	no	—
370	C₂×C₄	—	212	1	no	—
371	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
379	C₈	—	212	4	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#16811197	1	1	yes	characteristic
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	106	4	no	—
392	C₄	—	424	1	no	—
393	C₄	—	212	2	no	—
394	C₄	—	212	2	no	—
395	C₄	#16810806	1	2	yes	—
396	C₄	#16811284	1	2	yes	—
397	C₄	Q₈×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	#20278074	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#16810806	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#20284064	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133186
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3502	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#3502	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#24315
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3502

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
40. #13133215	Q₈	semidirect
238. C₅₃	#24315	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284516	2
C₄×#13133215	2
#20276057	2
#20275873	2
#20275693	2
#20275108	2
#20274930	2
#20274711	2
C₅₃×#3502	2
#24315	53