Subgroups — #27420344

Order 13568.

966 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20284520	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20276060	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275876	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275692	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275109	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274929	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274711	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	Q₈×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
11	#16811352	—	2	2	no	—
12	#16811349	—	2	4	no	—
13	#16811254	—	2	2	no	—
14	#16811254	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811180	—	2	2	no	—
16	#16811180	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811101	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810930	—	2	4	no	—
19	#16810918	—	2	2	no	—
20	#16810908	—	2	2	no	—
21	#16810663	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810647	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810632	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#13133136	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810383	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810383	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
34	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
36	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
38	#13133217	—	2	2	no	—
39	#13133217	—	2	2	no	—
40	#13133217	D₄	1	2	yes	—
41	#13133217	D₄	1	2	yes	—
42	#13133216	—	2	8	no	—
43	#13133216	—	2	4	no	—
44	#13133209	—	2	4	no	—
45	#13133209	D₄	1	4	yes	—
46	#13133208	—	2	8	no	—
47	#13133208	—	2	4	no	—
48	#13133196	—	2	2	no	—
49	#13133196	—	2	4	no	—
50	#13133196	—	2	2	no	—
51	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
52	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
54	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
55	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
56	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
57	#13133176	—	2	4	no	—
58	#13133176	C₂³	1	4	yes	—
59	#13133150	—	2	4	no	—
60	#13133148	—	2	4	no	—
61	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
62	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
63	#13133141	—	2	4	no	—
64	#13133141	—	2	4	no	—
65	#13133136	—	2	4	no	—
66	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₄⋊Q₈×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
70	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
88	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
115	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
121	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
122	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
123	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
129	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	#11719919	—	2	8	no	—
135	#11719919	—	2	4	no	—
136	#11719919	—	2	4	no	—
137	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
138	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	#11719917	—	2	4	no	—
140	#11719917	—	2	4	no	—
141	C₂×#88322	—	2	4	no	—
142	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
144	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
145	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
146	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
165	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
168	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
172	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
173	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
174	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
175	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
176	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
177	#88322	—	4	4	no	—
178	#24315	—	53	1	no	maximal, Sylow
179	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
186	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
187	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
189	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
191	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
192	C₄×C₅₃	#456	1	2	yes	—
193	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
194	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
195	Dic₅₃	—	4	4	no	—
196	Dic₅₃	—	4	4	no	—
197	#3502	—	53	1	no	—
198	#3078	—	53	2	no	—
199	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	#2060	—	53	2	no	—
201	#2028	—	53	2	no	—
202	#1994	—	53	2	no	—
203	#1886	—	53	2	no	—
204	#1857	—	53	2	no	—
205	#1801	—	53	1	no	—
206	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
207	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
208	C₂×C₅₃	#2409	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	C₂×#456	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₅₃	#3018	1	1	yes	characteristic
211	Q₈²	—	106	2	no	—
212	#557	—	106	4	no	—
213	#557	—	106	2	no	—
214	#544	—	53	2	no	—
215	#544	—	106	2	no	—
216	#533	—	53	2	no	—
217	#533	—	106	2	no	—
218	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#519	—	53	2	no	—
220	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	#479	—	106	4	no	—
223	#477	—	106	2	no	—
224	#475	—	106	2	no	—
225	#428	—	53	4	no	—
226	#423	—	53	2	no	—
227	#419	—	53	4	no	—
228	C₂×#101	—	53	2	no	—
229	#391	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#391	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	#389	—	2	2	no	—
232	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	#343	—	53	2	no	—
236	#339	—	53	4	no	—
237	#339	—	53	4	no	—
238	C₅₃	#24315	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
239	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
242	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
244	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
245	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
247	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
248	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
249	C₄⋊Q₈	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
250	#125	—	53	4	no	—
251	#125	—	106	4	no	—
252	#125	—	106	4	no	—
253	#125	—	106	8	no	—
254	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
255	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
256	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
257	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
258	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
259	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
260	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
262	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
263	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
264	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
265	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
266	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
267	#117	—	53	4	no	—
268	#117	—	106	4	no	—
269	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	#107	—	106	4	no	—
283	#106	—	106	4	no	—
284	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
285	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
286	#103	—	106	4	no	—
287	#103	—	106	4	no	—
288	#101	—	106	4	no	—
289	#95	—	2	2	no	—
290	#95	—	2	2	no	—
291	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
293	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
294	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
295	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
296	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
297	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
298	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
299	C₂×Q₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
300	C₂×Q₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
301	C₂×Q₈	#11719945	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
309	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	M₁₆	—	106	4	no	—
312	M₁₆	—	106	4	no	—
313	C₂×C₈	—	106	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
326	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
331	C₄²	—	2	4	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	2	no	—
334	C₄²	—	2	1	no	—
335	C₄²	—	2	2	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	—	4	1	no	—
338	C₄²	—	4	1	no	—
339	C₄²	—	106	8	no	—
340	C₄²	—	106	4	no	—
341	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
342	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
343	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	2	4	no	—
346	Q₈	—	2	4	no	—
347	Q₈	—	2	4	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	424	2	no	—
350	Q₈	—	424	4	no	—
351	Q₈	—	212	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	1	no	—
364	C₂×C₄	—	4	1	no	—
365	C₂×C₄	—	4	1	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	1	no	—
369	C₂×C₄	—	106	4	no	—
370	C₂×C₄	—	106	4	no	—
371	C₂×C₄	#13133185	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#13133185	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#13133196	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
379	C₈	—	212	4	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#16811194	1	1	yes	characteristic
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	8	1	no	—
393	C₄	—	212	4	no	—
394	C₄	—	212	4	no	—
395	C₄	#16810805	1	2	yes	—
396	C₄	#16811282	1	2	yes	—
397	C₄	D₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	#20278080	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#16810805	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#20284063	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133185
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#24315
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
69. C₄⋊Q₈×C₅₃	Q₈	semidirect
238. C₅₃	#24315	semidirect
249. C₄⋊Q₈	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288525	2
#20284520	2
#20276060	2
#20275876	2
#20275692	2
#20275109	2
#20274929	2
#20274711	2
C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#24315	53