Subgroups — #27420381

Order 13568.

930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20284522	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276066	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275877	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275695	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20275106	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274932	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₅₃×#1801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	Q₈×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
11	#16811352	—	2	2	no	—
12	#16811349	—	2	4	no	—
13	#16811254	—	2	2	no	—
14	#16811254	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811180	—	2	2	no	—
16	#16811180	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133215	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16811101	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810931	—	2	4	no	—
21	#16810919	—	2	2	no	—
22	#16810909	—	2	2	no	—
23	#16810665	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810633	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810530	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810528	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810507	—	2	2	no	—
28	#16810504	—	2	2	no	—
29	#16810488	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810384	C₂²	1	4	yes	—
32	#16810384	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#423	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#101×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#343	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#13133217	—	2	2	no	—
39	#13133217	—	2	2	no	—
40	#13133217	D₄	1	2	yes	—
41	#13133217	D₄	1	2	yes	—
42	#13133216	—	2	8	no	—
43	#13133216	—	2	4	no	—
44	#13133215	—	2	2	no	—
45	#13133215	Q₈	1	4	yes	complemented
46	#13133209	—	2	4	no	—
47	#13133209	D₄	1	4	yes	—
48	#13133208	—	2	8	no	—
49	#13133208	—	2	4	no	—
50	#13133196	—	2	2	no	—
51	#13133196	—	2	4	no	—
52	#13133196	—	2	2	no	—
53	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
54	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
55	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
56	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
57	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
58	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
59	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
60	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
61	#13133176	—	2	4	no	—
62	#13133176	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
65	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#13133151	—	2	4	no	—
70	#13133149	—	2	4	no	—
71	#13133142	—	2	4	no	—
72	#13133142	—	2	4	no	—
73	#13133124	—	2	1	no	—
74	#13133124	—	2	2	no	—
75	#13133124	—	2	2	no	—
76	#13133124	—	2	2	no	—
77	#13133124	—	2	1	no	—
78	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
80	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	#101×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
110	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	#11719919	—	2	8	no	—
128	#11719919	—	2	4	no	—
129	#11719919	—	2	4	no	—
130	#11719919	—	2	8	no	—
131	#11719919	—	4	1	no	—
132	#11719919	—	4	1	no	—
133	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
134	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
136	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
141	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
169	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
171	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
172	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
173	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
174	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
175	#24319	—	53	1	no	maximal, Sylow
176	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
185	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
186	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
188	Dic₅₃	—	4	2	no	—
189	Dic₅₃	—	4	2	no	—
190	Dic₅₃	—	4	4	no	—
191	Dic₅₃	—	4	4	no	—
192	Dic₅₃	—	8	1	no	—
193	Dic₅₃	—	8	1	no	—
194	#3502	—	53	1	no	—
195	#3078	—	53	2	no	—
196	#2327	—	53	1	no	—
197	#2061	—	53	2	no	—
198	#2028	—	53	2	no	—
199	#1995	—	53	2	no	—
200	#1886	—	53	2	no	—
201	#1857	—	53	2	no	—
202	#1801	D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
204	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
205	C₂×C₅₃	#2409	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₅₃	#3020	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₅₃	#3022	1	1	yes	characteristic
208	Q₈²	—	106	2	no	—
209	#557	—	106	4	no	—
210	#557	—	106	2	no	—
211	#544	—	53	2	no	—
212	#544	—	106	2	no	—
213	#533	—	53	2	no	—
214	#533	—	106	2	no	—
215	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
216	#519	—	53	2	no	—
217	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
218	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#479	—	106	4	no	—
220	#477	—	106	2	no	—
221	#475	—	106	2	no	—
222	#428	—	53	4	no	—
223	#423	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
224	#419	—	53	4	no	—
225	C₂×#101	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
226	#391	—	53	1	no	—
227	#391	—	53	1	no	—
228	#387	—	106	2	no	—
229	#387	—	106	2	no	—
230	#382	—	53	1	no	—
231	#376	—	53	1	no	—
232	#343	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
233	#339	—	53	4	no	—
234	#339	—	53	4	no	—
235	C₅₃	#24319	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
236	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
237	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
239	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
240	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
241	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
242	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
244	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
245	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
247	#125	—	53	4	no	—
248	#125	—	106	4	no	—
249	#125	—	106	4	no	—
250	#125	—	106	8	no	—
251	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
252	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
253	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
254	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
255	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
256	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
257	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
258	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
259	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
260	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
261	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
262	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
263	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
264	#117	—	53	4	no	—
265	#117	—	106	4	no	—
266	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
267	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
268	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
269	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
270	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
272	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
273	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
274	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
275	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	#107	—	106	4	no	—
277	#106	—	106	4	no	—
278	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
280	#103	—	106	4	no	—
281	#103	—	106	4	no	—
282	#101	—	2	4	no	—
283	#95	—	106	1	no	—
284	#95	—	106	1	no	—
285	#95	—	106	2	no	—
286	#95	—	106	2	no	—
287	#95	—	106	2	no	—
288	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
289	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
290	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
291	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
292	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
294	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
295	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
296	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
297	C₂×Q₈	#11719947	1	2	yes	—
298	C₂×Q₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
299	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
300	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
301	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
302	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
303	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
306	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	M₁₆	—	2	4	no	—
309	M₁₆	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
324	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
326	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
328	C₄²	—	2	2	no	—
329	C₄²	—	2	2	no	—
330	C₄²	—	53	2	no	—
331	C₄²	—	106	8	no	—
332	C₄²	—	106	4	no	—
333	C₄²	—	106	1	no	—
334	C₄²	—	106	2	no	—
335	C₄²	—	212	2	no	—
336	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
337	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	2	4	no	—
340	Q₈	—	2	4	no	—
341	Q₈	—	106	4	no	—
342	Q₈	—	424	2	no	—
343	Q₈	—	424	4	no	—
344	Q₈	—	212	4	no	—
345	Q₈	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	106	4	no	—
353	C₂×C₄	—	106	4	no	—
354	C₂×C₄	—	106	2	no	—
355	C₂×C₄	—	106	2	no	—
356	C₂×C₄	—	212	1	no	—
357	C₂×C₄	—	212	1	no	—
358	C₂×C₄	—	212	2	no	—
359	C₂×C₄	—	212	1	no	—
360	C₂×C₄	—	212	1	no	—
361	C₂×C₄	—	212	1	no	—
362	C₂×C₄	—	212	1	no	—
363	C₂×C₄	—	212	1	no	—
364	C₂×C₄	—	212	1	no	—
365	C₂×C₄	#13133187	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#13133187	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#13133197	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#16811199	1	1	yes	characteristic
379	C₄	—	2	4	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	424	1	no	—
385	C₄	—	424	1	no	—
386	C₄	—	212	2	no	—
387	C₄	—	212	2	no	—
388	C₄	—	212	4	no	—
389	C₄	—	212	4	no	—
390	C₄	#16811279	1	2	yes	—
391	C₄	#16811286	1	2	yes	—
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	#20278081	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#20284082	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#20284096	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133187
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1801	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#1801	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#24319
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1801

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
45. #13133215	Q₈	semidirect
235. C₅₃	#24319	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288525	2
#20284522	2
#20277431	2
#20276066	2
#20275877	2
#20275695	2
#20275106	2
#20274932	2
C₅₃×#1801	2
#24319	53