Subgroups — #27437516

Order 13568.

1188 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20284198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283073	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275745	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275100	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133248	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811358	—	2	2	no	—
12	#16811295	—	2	2	no	—
13	#16811264	—	2	4	no	—
14	#16811229	—	2	2	no	—
15	#16811192	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811174	—	2	2	no	—
17	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133206	C₂²	1	4	yes	—
19	#16811097	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810830	—	2	2	no	—
22	#16810825	—	2	2	no	—
23	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#13133143	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810632	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810524	—	2	4	no	—
28	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810384	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810382	C₂²	1	4	yes	—
31	C₅₃×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#491	—	2	2	no	—
34	C₅₃×#487	—	2	2	no	—
35	C₅₃×#419	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#11719949	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	4	yes	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	#13133248	—	4	4	no	—
42	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
45	#13133214	—	2	2	no	—
46	#13133214	—	2	1	no	—
47	#13133214	—	2	1	no	—
48	#13133214	—	2	2	no	—
49	#13133206	—	2	4	no	—
50	#13133206	—	2	8	no	—
51	#13133206	—	4	4	no	—
52	#13133205	—	2	2	no	—
53	#13133202	—	2	8	no	—
54	#13133192	—	2	4	no	—
55	#13133192	—	2	8	no	—
56	#13133192	—	2	4	no	—
57	#13133187	—	2	4	no	—
58	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
59	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
60	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
61	#13133179	—	2	4	no	—
62	#13133179	—	2	4	no	—
63	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
64	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#13133174	—	2	1	no	—
66	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
67	C₂²⋊C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
71	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
72	#13133143	—	2	4	no	—
73	#13133141	—	2	4	no	—
74	#13133133	—	4	4	no	—
75	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
78	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
81	#125×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#103×C₅₃	—	2	8	no	—
88	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
101	#11719949	—	8	8	no	—
102	#11719945	—	2	2	no	—
103	#11719945	—	2	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
109	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
110	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
111	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
112	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
118	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
131	#11719925	—	4	4	no	—
132	#11719924	—	4	4	no	—
133	#11719921	—	2	8	no	—
134	#11719921	—	2	8	no	—
135	#11719921	—	2	2	no	—
136	#11719921	—	4	16	no	—
137	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#11719919	—	2	2	no	—
139	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
140	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
141	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
143	C₄×Dic₅₃	#41	1	4	yes	complemented
144	#11719917	—	2	4	no	—
145	C₂×#88322	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
148	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
150	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
151	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
152	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
153	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
154	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
160	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
165	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
170	D₂₁₂	—	2	1	no	—
171	D₂₁₂	—	2	1	no	—
172	D₂₁₂	—	4	2	no	—
173	D₂₁₂	—	4	2	no	—
174	D₂₁₂	—	4	4	no	—
175	D₂₁₂	—	4	8	no	—
176	D₂₁₂	—	8	4	no	—
177	D₂₁₂	—	8	8	no	—
178	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
180	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
181	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
182	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
183	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
184	#88322	—	4	2	no	—
185	#25590	—	53	1	no	maximal, Sylow
186	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₅₃	#546	1	2	yes	—
189	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
190	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
191	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
192	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
193	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
194	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
195	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
196	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
197	C₄×C₅₃	#455	1	4	yes	—
198	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
200	C₄×C₅₃	#550	1	2	yes	—
201	Dic₅₃	—	4	4	no	—
202	Dic₅₃	—	4	1	no	—
203	Dic₅₃	—	4	2	no	—
204	#3508	—	53	1	no	—
205	#3139	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
206	#3039	—	53	1	no	—
207	#2858	—	53	1	no	—
208	#2004	—	53	4	no	—
209	#1994	—	53	1	no	—
210	#1965	—	53	1	no	—
211	#1885	—	53	4	no	—
212	C₄×#104	—	53	1	no	—
213	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
214	C₂×C₅₃	#2431	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₅₃	C₂×#455	1	2	yes	—
216	D₅₃	—	8	1	no	—
217	D₅₃	—	8	4	no	—
218	C₂×#137	—	53	2	no	—
219	#559	—	106	2	no	—
220	#550	—	106	2	no	—
221	#546	—	106	4	no	—
222	#540	—	106	2	no	—
223	#535	—	53	2	no	—
224	#533	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#532	—	106	2	no	—
226	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂×#127	—	53	1	no	—
228	C₂×#124	—	53	4	no	—
229	#518	—	53	2	no	—
230	C₄×#41	—	53	1	no	—
231	#491	—	2	2	no	—
232	#487	—	2	2	no	—
233	#462	—	106	2	no	—
234	#461	—	106	2	no	—
235	#423	—	53	1	no	—
236	C₂×#104	—	53	2	no	—
237	#419	—	53	2	no	—
238	#419	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
239	C₂×#100	—	53	4	no	—
240	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	#390	—	106	4	no	—
242	C₄³	—	53	1	no	—
243	#339	—	53	2	no	—
244	#339	—	53	4	no	—
245	C₅₃	#25590	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
246	C₂×#41	—	53	1	no	—
247	C₂×#41	—	106	4	no	—
248	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
250	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
251	#137	—	212	4	no	—
252	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
253	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
254	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
255	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
257	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
258	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
259	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
260	#127	—	106	2	no	—
261	#127	—	106	2	no	—
262	#127	—	106	1	no	—
263	#127	—	106	1	no	—
264	#125	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
265	#124	—	106	2	no	—
266	#124	—	106	8	no	—
267	#124	—	106	4	no	—
268	#124	—	212	4	no	—
269	#123	—	106	8	no	—
270	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
271	#121	—	106	4	no	—
272	#121	—	106	8	no	—
273	#121	—	106	4	no	—
274	#120	—	106	4	no	—
275	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
276	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
277	C₄×D₄	—	53	2	no	—
278	C₄×D₄	—	106	4	no	—
279	C₄×D₄	—	106	4	no	—
280	C₄×D₄	—	106	2	no	—
281	C₄×D₄	—	106	4	no	—
282	#117	—	53	1	no	—
283	#117	—	106	1	no	—
284	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
285	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
287	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
288	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
289	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
290	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
291	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
293	#104	—	106	4	no	—
294	#103	—	2	8	no	—
295	#103	—	106	4	no	—
296	#100	—	212	4	no	—
297	#97	—	2	1	no	—
298	C₄×C₈	—	2	1	no	—
299	C₂⁴	—	53	4	no	—
300	#41	—	106	2	no	—
301	#41	—	106	2	no	—
302	#41	—	424	8	no	—
303	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
304	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
305	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
306	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
307	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
308	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
309	C₂×D₄	—	53	1	no	—
310	C₂×D₄	—	106	8	no	—
311	C₂×D₄	—	106	1	no	—
312	C₂×D₄	—	106	4	no	—
313	C₂×D₄	—	106	4	no	—
314	C₂×D₄	—	106	2	no	—
315	C₂×D₄	—	106	2	no	—
316	C₂×D₄	—	106	4	no	—
317	C₂×D₄	—	106	4	no	—
318	C₂×D₄	—	212	8	no	—
319	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
321	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
322	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
323	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
324	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
325	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	Q₁₆	—	212	4	no	—
327	SD₁₆	—	212	4	no	—
328	M₁₆	—	2	2	no	—
329	M₁₆	—	2	2	no	—
330	M₁₆	—	106	4	no	—
331	C₂×C₈	—	2	2	no	—
332	C₂×C₈	—	106	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
337	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
338	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
339	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
340	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	212	16	no	—
346	C₄²	—	2	2	no	—
347	C₄²	—	53	4	no	—
348	C₄²	—	106	2	no	—
349	C₄²	—	106	1	no	—
350	C₄²	—	106	2	no	—
351	C₄²	—	212	4	no	—
352	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
353	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
354	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₂³	—	106	8	no	—
356	C₂³	—	106	4	no	—
357	C₂³	—	106	1	no	—
358	C₂³	—	212	8	no	—
359	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	Q₈	—	4	4	no	—
361	Q₈	—	4	4	no	—
362	Q₈	—	4	2	no	—
363	Q₈	—	4	2	no	—
364	Q₈	—	106	1	no	—
365	Q₈	—	106	1	no	—
366	D₄	—	106	1	no	—
367	D₄	—	106	1	no	—
368	D₄	—	424	4	no	—
369	D₄	—	424	8	no	—
370	D₄	—	212	2	no	—
371	D₄	—	212	4	no	—
372	D₄	—	212	8	no	—
373	D₄	—	212	2	no	—
374	D₄	—	212	2	no	—
375	C₂×C₄	—	2	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	106	4	no	—
380	C₂×C₄	—	106	1	no	—
381	C₂×C₄	—	106	2	no	—
382	C₂×C₄	—	424	8	no	—
383	C₂×C₄	—	212	4	no	—
384	C₂×C₄	—	212	2	no	—
385	C₂×C₄	—	212	4	no	—
386	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	212	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	424	8	no	—
396	C₂²	—	212	1	no	—
397	C₂²	—	212	4	no	—
398	C₂²	—	212	8	no	—
399	C₂²	—	212	2	no	—
400	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#16811266	1	2	yes	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	4	4	no	—
404	C₄	—	8	2	no	—
405	C₄	—	212	4	no	—
406	C₄	—	212	1	no	—
407	C₄	—	212	2	no	—
408	C₄	#16810799	1	4	yes	—
409	C₄	#16811172	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#16811191	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#16811292	1	2	yes	—
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	424	4	no	—
414	C₂	—	424	1	no	—
415	C₂	#20278337	1	1	yes	characteristic
416	C₂	C₂×#16810799	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133185
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3139	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	#20288592	C₂
hypercenter	#3139	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25590
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3139

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20284198	C₂	semidirect
3. #20283073	C₂	semidirect
4. #20275745	C₂	semidirect
5. #20275693	C₂	semidirect
6. #20275555	C₂	semidirect
7. #20275100	C₂	semidirect
8. C₄×#13133143	C₂	semidirect
9. C₅₃×#3139	C₂	semidirect
143. C₄×Dic₅₃	#41	semidirect
205. #3139	D₅₃	semidirect
245. C₅₃	#25590	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288592	2
#20284198	2
#20283073	2
#20275745	2
#20275693	2
#20275555	2
#20275100	2
C₄×#13133143	2
C₅₃×#3139	2
#25590	53