Subgroups — #27437519

Order 13568.

1120 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288599	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20285089	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20284191	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275737	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275692	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275560	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275119	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133243	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811348	—	2	2	no	—
12	#16811347	—	2	2	no	—
13	#16811308	—	2	4	no	—
14	#16811234	—	2	2	no	—
15	#16811197	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811180	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811178	—	2	2	no	—
18	#16811101	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810987	—	2	2	no	—
21	#16810969	—	2	2	no	—
22	#16810820	—	2	2	no	—
23	#16810815	—	2	2	no	—
24	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#13133145	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810628	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810628	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#13133136	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810383	C₂²	1	4	yes	—
31	#16810383	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
35	C₅₃×#390	—	2	4	no	—
36	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#13133243	—	4	4	no	—
39	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
40	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
41	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
43	#13133217	D₄	1	2	yes	—
44	#13133215	—	2	2	no	—
45	#13133212	—	2	8	no	—
46	#13133209	D₄	1	2	yes	—
47	#13133208	—	2	4	no	—
48	#13133207	—	2	8	no	—
49	#13133206	—	2	2	no	—
50	#13133200	—	2	4	no	—
51	#13133197	—	2	4	no	—
52	#13133196	—	2	2	no	—
53	#13133193	—	2	4	no	—
54	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
55	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
56	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
57	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
58	#13133182	—	2	4	no	—
59	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
60	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
61	#13133176	—	2	4	no	—
62	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#13133176	C₂³	1	2	yes	—
64	#13133175	—	2	4	no	—
65	#13133174	—	2	1	no	—
66	C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
67	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
68	#13133145	—	2	4	no	—
69	#13133138	—	2	4	no	—
70	#13133138	—	2	8	no	—
71	#13133136	—	4	4	no	—
72	#13133128	—	2	1	no	—
73	C₄×#88322	—	2	1	no	—
74	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
82	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
83	#124×C₅₃	—	2	8	no	—
84	#124×C₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
100	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
107	#11719945	—	2	2	no	—
108	#11719945	—	2	2	no	—
109	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
113	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
117	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
119	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
123	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	#11719923	—	4	4	no	—
126	#11719922	—	4	4	no	—
127	#11719921	—	2	8	no	—
128	#11719921	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	#11719919	—	2	8	no	—
134	#11719919	—	2	2	no	—
135	#11719919	—	2	4	no	—
136	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
138	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
139	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
140	#11719917	—	2	2	no	—
141	#11719917	—	2	2	no	—
142	#11719917	—	2	4	no	—
143	C₂×#88322	—	2	2	no	—
144	C₂×#88322	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
146	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
150	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
151	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
152	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
153	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
154	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
155	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
156	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
157	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
164	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
165	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
168	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
169	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
170	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
172	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
173	D₂₁₂	—	2	1	no	—
174	D₂₁₂	—	2	1	no	—
175	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
176	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
177	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
178	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
179	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
180	#88322	—	4	2	no	—
181	#88322	—	4	2	no	—
182	#25591	—	53	1	no	maximal, Sylow
183	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₅₃	—	8	8	no	—
185	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
186	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
187	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₅₃	#546	1	2	yes	—
189	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
190	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
191	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
192	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
193	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
194	C₄×C₅₃	#454	1	4	yes	—
195	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₅₃	#550	1	2	yes	—
198	Dic₅₃	—	4	1	no	—
199	Dic₅₃	—	4	4	no	—
200	Dic₅₃	—	4	2	no	—
201	#3509	—	53	1	no	—
202	#3138	—	53	1	no	—
203	#3038	—	53	1	no	—
204	#2858	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
205	#2003	—	53	4	no	—
206	#1994	—	53	1	no	—
207	#1966	—	53	1	no	—
208	#1888	—	53	4	no	—
209	C₄×#104	—	53	1	no	—
210	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
211	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
212	C₂×C₅₃	#2431	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₅₃	C₂×#454	1	2	yes	—
214	D₅₃	—	8	1	no	—
215	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	2	no	—
216	#557	—	106	2	no	—
217	#556	—	106	2	no	—
218	#552	—	106	4	no	—
219	#541	—	106	2	no	—
220	#536	—	53	2	no	—
221	#533	—	53	1	no	—
222	#533	—	106	2	no	—
223	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
226	#519	—	53	2	no	—
227	C₄×#41	—	53	1	no	—
228	#490	—	106	2	no	—
229	#486	—	106	2	no	—
230	#460	—	106	2	no	—
231	#459	—	106	2	no	—
232	#423	—	53	1	no	—
233	C₂×#104	—	53	2	no	—
234	#418	—	53	4	no	—
235	#418	—	53	2	no	—
236	C₂×#101	—	53	4	no	—
237	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
238	#390	—	2	4	no	—
239	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	#339	—	53	2	no	—
241	#339	—	53	4	no	—
242	C₅₃	#25591	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
243	C₂×#41	—	53	1	no	—
244	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
247	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
248	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
249	C₂×D₈	—	106	2	no	—
250	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
251	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
252	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
253	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
254	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
255	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
256	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
257	#127	—	2	2	no	—
258	#127	—	2	1	no	—
259	#127	—	2	1	no	—
260	#126	—	106	8	no	—
261	#125	—	53	2	no	—
262	#125	—	106	4	no	—
263	#125	—	106	8	no	—
264	#124	—	2	8	no	—
265	#124	—	4	4	no	—
266	#124	—	106	2	no	—
267	#123	—	106	4	no	—
268	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
269	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
270	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
271	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
272	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
273	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
274	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
275	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
276	C₄×D₄	—	53	2	no	—
277	C₄×D₄	—	106	2	no	—
278	#117	—	53	1	no	—
279	#117	—	53	2	no	—
280	#117	—	106	4	no	—
281	#117	—	106	4	no	—
282	#117	—	106	1	no	—
283	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
284	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
287	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
290	#104	—	106	4	no	—
291	#102	—	106	4	no	—
292	#102	—	106	8	no	—
293	#101	—	212	4	no	—
294	#97	—	106	1	no	—
295	C₄×C₈	—	106	1	no	—
296	C₂⁴	—	2	2	no	—
297	#41	—	106	2	no	—
298	#41	—	106	2	no	—
299	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
300	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
301	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
302	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
303	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
304	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
305	C₂×D₄	—	2	2	no	—
306	C₂×D₄	—	2	2	no	—
307	C₂×D₄	—	2	4	no	—
308	C₂×D₄	—	2	4	no	—
309	C₂×D₄	—	4	8	no	—
310	C₂×D₄	—	4	2	no	—
311	C₂×D₄	—	4	2	no	—
312	C₂×D₄	—	53	1	no	—
313	C₂×D₄	—	106	1	no	—
314	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
316	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
317	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
318	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
319	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	SD₁₆	—	212	4	no	—
321	D₈	—	212	4	no	—
322	M₁₆	—	106	2	no	—
323	M₁₆	—	106	2	no	—
324	M₁₆	—	106	4	no	—
325	C₂×C₈	—	106	2	no	—
326	C₂×C₈	—	106	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
332	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
333	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
341	C₄²	—	2	2	no	—
342	C₄²	—	4	4	no	—
343	C₄²	—	106	8	no	—
344	C₄²	—	106	2	no	—
345	C₄²	—	106	1	no	—
346	C₄²	—	106	2	no	—
347	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
348	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
350	C₄²	#11719947	1	4	yes	—
351	C₂³	—	4	8	no	—
352	C₂³	—	4	4	no	—
353	C₂³	—	4	2	no	—
354	C₂³	—	106	1	no	—
355	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
356	Q₈	—	4	4	no	—
357	Q₈	—	4	2	no	—
358	Q₈	—	4	2	no	—
359	Q₈	—	106	1	no	—
360	Q₈	—	106	1	no	—
361	Q₈	—	212	4	no	—
362	D₄	—	4	4	no	—
363	D₄	—	4	2	no	—
364	D₄	—	4	2	no	—
365	D₄	—	8	4	no	—
366	D₄	—	8	4	no	—
367	D₄	—	106	1	no	—
368	D₄	—	106	1	no	—
369	D₄	—	212	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	8	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	106	2	no	—
376	C₂×C₄	—	106	4	no	—
377	C₂×C₄	—	106	1	no	—
378	C₂×C₄	—	212	2	no	—
379	C₂×C₄	—	212	4	no	—
380	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
386	C₈	—	212	2	no	—
387	C₈	—	212	2	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	8	8	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	212	1	no	—
393	C₂²	—	212	2	no	—
394	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#16811267	1	2	yes	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	4	4	no	—
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	212	1	no	—
400	C₄	—	212	2	no	—
401	C₄	—	212	4	no	—
402	C₄	#16810795	1	4	yes	—
403	C₄	#16811171	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#16811186	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#16811293	1	2	yes	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	16	2	no	—
408	C₂	—	424	1	no	—
409	C₂	#20278331	1	1	yes	characteristic
410	C₂	C₂×#16810795	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133185
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2858	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	#20284191	C₂
hypercenter	#2858	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25591
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #2858

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20288599	C₂	semidirect
2. #20285089	C₂	semidirect
4. #20275737	C₂	semidirect
5. #20275692	C₂	semidirect
6. #20275560	C₂	semidirect
7. #20275119	C₂	semidirect
8. C₄×#13133145	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2858	C₂	semidirect
204. #2858	D₅₃	semidirect
242. C₅₃	#25591	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288599	2
#20285089	2
#20284191	2
#20275737	2
#20275692	2
#20275560	2
#20275119	2
C₄×#13133145	2
C₅₃×#2858	2
#25591	53