Subgroups — #27438558

Order 13568.

1072 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20284533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20280661	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275927	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275697	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274923	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20274528	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#3166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#16811358	—	2	2	no	—
11	#16811295	—	2	2	no	—
12	#16811264	—	2	4	no	—
13	#16811229	—	2	2	no	—
14	#16811192	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811174	—	2	2	no	—
16	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811097	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810927	—	2	2	no	—
20	#16810920	—	2	2	no	—
21	#16810663	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#13133143	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810622	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
26	#16810540	—	2	4	no	—
27	#16810524	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810384	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810382	C₂²	1	4	yes	—
31	C₅₃×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#501	—	2	2	no	—
34	C₅₃×#499	—	2	2	no	—
35	C₅₃×#428	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#11719949	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	4	yes	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133214	—	2	2	no	—
43	#13133214	—	2	1	no	—
44	#13133214	—	2	1	no	—
45	#13133214	—	2	2	no	—
46	#13133206	—	2	4	no	—
47	#13133205	—	2	2	no	—
48	#13133202	—	2	8	no	—
49	#13133192	—	2	4	no	—
50	#13133192	—	2	8	no	—
51	#13133192	—	2	4	no	—
52	#13133187	—	2	4	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
54	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
55	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
56	#13133179	—	2	4	no	—
57	#13133179	—	2	4	no	—
58	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
59	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#13133174	—	2	1	no	—
61	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
62	C₂²⋊C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
65	#13133150	—	2	2	no	—
66	#13133148	—	2	2	no	—
67	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
68	#13133143	—	2	4	no	—
69	#13133140	—	2	2	no	—
70	#13133137	—	2	2	no	—
71	#13133133	—	2	8	no	—
72	#13133124	—	2	2	no	—
73	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
75	#125×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#125×C₅₃	—	2	1	no	—
77	#125×C₅₃	—	2	2	no	—
78	#125×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#107×C₅₃	—	2	4	no	—
86	#106×C₅₃	—	2	4	no	—
87	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
88	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
96	#11719949	—	8	8	no	—
97	#11719945	—	2	2	no	—
98	#11719945	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
107	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
113	M₁₆×C₅₃	#41	1	4	yes	complemented
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	#11719921	—	2	8	no	—
129	#11719921	—	2	8	no	—
130	#11719921	—	2	2	no	—
131	#11719921	—	8	8	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	#11719919	—	2	2	no	—
134	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
136	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
138	#11719917	—	2	4	no	—
139	C₂×#88322	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
142	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
145	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
156	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	D₂₁₂	—	2	1	no	—
162	D₂₁₂	—	2	1	no	—
163	D₂₁₂	—	4	8	no	—
164	D₂₁₂	—	4	2	no	—
165	D₂₁₂	—	4	2	no	—
166	D₂₁₂	—	4	4	no	—
167	D₂₁₂	—	8	4	no	—
168	D₂₁₂	—	8	8	no	—
169	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
170	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
172	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
173	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
174	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
175	#88322	—	4	2	no	—
176	#25690	—	53	1	no	maximal, Sylow
177	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₅₃	#547	1	2	yes	—
180	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
181	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
183	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
184	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
188	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
189	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
190	C₄×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
191	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
192	Dic₅₃	—	4	1	no	—
193	Dic₅₃	—	4	2	no	—
194	Dic₅₃	—	8	2	no	—
195	#3508	—	53	1	no	—
196	#3166	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
197	#3080	—	53	1	no	—
198	#2641	—	53	1	no	—
199	#2037	—	53	4	no	—
200	#1995	—	53	1	no	—
201	#1965	—	53	1	no	—
202	#1856	—	53	4	no	—
203	#1759	—	53	1	no	—
204	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
205	C₂×C₅₃	#2432	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₅₃	#3019	1	2	yes	—
207	D₅₃	—	8	1	no	—
208	D₅₃	—	8	4	no	—
209	#559	—	106	2	no	—
210	#550	—	106	2	no	—
211	#546	—	106	4	no	—
212	#540	—	106	2	no	—
213	#535	—	53	2	no	—
214	#533	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#532	—	106	2	no	—
216	C₂×#127	—	53	1	no	—
217	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#518	—	53	2	no	—
219	C₄×#41	—	53	1	no	—
220	#501	—	2	2	no	—
221	#499	—	2	2	no	—
222	#479	—	106	2	no	—
223	#478	—	106	2	no	—
224	#428	—	53	2	no	—
225	#428	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
226	#423	—	53	1	no	—
227	C₂×#104	—	53	2	no	—
228	#417	—	53	2	no	—
229	C₂×#100	—	53	4	no	—
230	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	#394	—	106	4	no	—
232	#390	—	53	4	no	—
233	#376	—	53	1	no	—
234	#339	—	53	2	no	—
235	#339	—	53	4	no	—
236	C₅₃	#25690	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
237	C₂×#41	—	53	1	no	—
238	C₂×#41	—	106	4	no	—
239	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
240	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
241	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
242	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
243	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
244	#127	—	106	2	no	—
245	#127	—	106	2	no	—
246	#127	—	106	1	no	—
247	#127	—	106	1	no	—
248	#125	—	2	2	no	—
249	#125	—	2	1	no	—
250	#125	—	2	1	no	—
251	#125	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
252	#124	—	106	2	no	—
253	#124	—	106	4	no	—
254	#123	—	106	8	no	—
255	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
256	#121	—	106	4	no	—
257	#121	—	106	8	no	—
258	#121	—	106	4	no	—
259	#120	—	106	4	no	—
260	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
262	C₄×D₄	—	53	2	no	—
263	C₄×D₄	—	106	4	no	—
264	C₄×D₄	—	106	4	no	—
265	C₄×D₄	—	106	2	no	—
266	C₄×D₄	—	106	4	no	—
267	#117	—	53	1	no	—
268	#117	—	106	1	no	—
269	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
270	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
273	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
274	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
275	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
276	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	#107	—	2	4	no	—
278	#107	—	106	2	no	—
279	#106	—	2	4	no	—
280	#106	—	106	2	no	—
281	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
282	#104	—	106	4	no	—
283	#103	—	106	2	no	—
284	#102	—	106	2	no	—
285	#100	—	106	8	no	—
286	#97	—	2	1	no	—
287	C₄×C₈	—	2	1	no	—
288	#95	—	106	2	no	—
289	C₂⁴	—	53	4	no	—
290	#41	—	106	2	no	—
291	#41	—	106	2	no	—
292	#41	—	424	8	no	—
293	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
294	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
295	C₂×D₄	—	53	1	no	—
296	C₂×D₄	—	106	8	no	—
297	C₂×D₄	—	106	1	no	—
298	C₂×D₄	—	106	4	no	—
299	C₂×D₄	—	106	4	no	—
300	C₂×D₄	—	106	2	no	—
301	C₂×D₄	—	106	2	no	—
302	C₂×D₄	—	106	4	no	—
303	C₂×D₄	—	106	4	no	—
304	C₂×D₄	—	424	4	no	—
305	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
307	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
309	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
310	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	M₁₆	—	2	2	no	—
313	M₁₆	—	106	4	no	—
314	M₁₆	#11719949	1	4	yes	complemented
315	C₂×C₈	—	2	2	no	—
316	C₂×C₈	—	106	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
325	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	424	8	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	106	2	no	—
334	C₄²	—	106	1	no	—
335	C₄²	—	106	2	no	—
336	C₄²	—	106	2	no	—
337	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
338	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	—	106	8	no	—
341	C₂³	—	106	4	no	—
342	C₂³	—	106	1	no	—
343	C₂³	—	212	8	no	—
344	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	4	4	no	—
346	Q₈	—	106	1	no	—
347	Q₈	—	106	1	no	—
348	D₄	—	106	1	no	—
349	D₄	—	106	1	no	—
350	D₄	—	424	4	no	—
351	D₄	—	424	8	no	—
352	D₄	—	212	8	no	—
353	D₄	—	212	2	no	—
354	D₄	—	212	4	no	—
355	D₄	—	212	2	no	—
356	D₄	—	212	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	106	1	no	—
362	C₂×C₄	—	106	2	no	—
363	C₂×C₄	—	424	8	no	—
364	C₂×C₄	—	212	4	no	—
365	C₂×C₄	—	212	4	no	—
366	C₂×C₄	—	212	2	no	—
367	C₂×C₄	—	212	2	no	—
368	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	4	no	—
375	C₈	—	212	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	424	8	no	—
378	C₂²	—	212	1	no	—
379	C₂²	—	212	4	no	—
380	C₂²	—	212	8	no	—
381	C₂²	—	212	2	no	—
382	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#16811276	1	2	yes	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	4	4	no	—
387	C₄	—	8	2	no	—
388	C₄	—	424	2	no	—
389	C₄	—	212	1	no	—
390	C₄	—	212	2	no	—
391	C₄	#16811174	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#16811198	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#16811284	1	2	yes	—
394	C₂	—	2	2	no	—
395	C₂	—	424	4	no	—
396	C₂	—	424	1	no	—
397	C₂	#20278340	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#20284070	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133185
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3166	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	#20288592	C₂
hypercenter	#3166	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25690
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3166

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20284533	C₂	semidirect
3. #20280661	C₂	semidirect
4. #20275927	C₂	semidirect
5. #20275697	C₂	semidirect
6. #20275555	C₂	semidirect
7. #20274923	C₂	semidirect
8. #20274528	C₂	semidirect
9. C₅₃×#3166	C₂	semidirect
113. M₁₆×C₅₃	#41	semidirect
196. #3166	D₅₃	semidirect
236. C₅₃	#25690	semidirect
314. M₁₆	#11719949	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288592	2
#20284533	2
#20280661	2
#20275927	2
#20275697	2
#20275555	2
#20274923	2
#20274528	2
C₅₃×#3166	2
#25690	53