Subgroups — #27438838

Order 13568.

2234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810996	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810776	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20283067	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275805	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275521	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×D₂₁₂	—	2	2	no	—
9	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#11719913	C₂²	1	8	yes	complemented
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×#13133214	—	2	8	no	—
13	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133196	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810996	—	2	8	no	—
18	#16810776	—	2	16	no	—
19	C₂×#13133139	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#16810529	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#16810521	—	2	2	no	—
22	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#16810483	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	16	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	4	4	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	4	8	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	—	4	8	no	—
39	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#11719913	—	2	16	no	—
41	C₂×#11719913	—	2	16	no	—
42	C₂×#11719913	—	4	8	no	—
43	#13133217	—	2	4	no	—
44	#13133214	—	2	16	no	—
45	#13133214	—	2	4	no	—
46	#13133214	—	2	8	no	—
47	#13133214	D₄	1	8	yes	—
48	#13133196	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
53	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	#13133139	—	2	16	no	—
55	#13133124	—	2	4	no	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	32	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	64	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
98	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
105	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
112	#11719919	—	4	4	no	—
113	#11719913	—	4	32	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	D₂₁₂	—	2	16	no	—
150	D₂₁₂	—	4	16	no	—
151	D₂₁₂	—	4	32	no	—
152	D₂₁₂	—	4	8	no	—
153	D₂₁₂	—	4	32	no	—
154	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
156	#25717	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	#492	1	4	yes	complemented
162	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
166	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
167	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
168	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
169	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
175	C₄×C₅₃	#450	1	8	yes	complemented
176	C₄×C₅₃	D₄²	1	4	yes	—
177	Dic₅₃	—	8	2	no	—
178	Dic₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂²×#127	—	53	1	no	—
180	C₂×#492	—	53	2	no	—
181	C₂×#450	—	53	4	no	—
182	#2857	—	53	1	no	—
183	#2014	—	53	4	no	—
184	#1957	—	53	2	no	—
185	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
187	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	C₂×#450	1	2	yes	—
189	C₂×C₅₃	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#3208	1	2	yes	—
192	D₅₃	—	8	8	no	—
193	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
194	C₂³×D₄	—	106	2	no	—
195	C₂²×SD₁₆	—	53	8	no	—
196	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
197	C₂×#127	—	53	2	no	—
198	C₂×#127	—	53	2	no	—
199	C₂×#127	—	106	8	no	—
200	C₂×#127	—	106	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
202	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#492	—	106	8	no	—
204	#450	—	106	16	no	—
205	C₂×#102	—	53	8	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
208	#391	—	53	2	no	—
209	#389	—	106	2	no	—
210	#384	—	53	1	no	—
211	#380	—	106	2	no	—
212	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
213	C₅₃	#25717	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
214	C₂⁵	—	106	2	no	—
215	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
216	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
217	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
218	C₂²×D₄	—	106	16	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
220	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
221	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
222	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
223	C₂²×D₄	—	212	4	no	—
224	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
225	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
226	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
227	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
229	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
230	C₂×SD₁₆	—	212	8	no	—
231	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
232	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
233	#127	—	53	8	no	—
234	#127	—	106	8	no	—
235	#127	—	106	16	no	—
236	#127	—	106	4	no	—
237	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
245	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	#102	—	106	16	no	—
248	C₂²⋊C₈	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
249	C₄×C₈	—	2	4	no	—
250	#95	—	106	4	no	—
251	C₂⁴	—	106	8	no	—
252	C₂⁴	—	106	4	no	—
253	C₂⁴	—	212	8	no	—
254	C₂⁴	—	212	4	no	—
255	C₂⁴	—	212	4	no	—
256	C₂⁴	—	212	8	no	—
257	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
258	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
261	C₂×D₄	—	53	8	no	—
262	C₂×D₄	—	106	16	no	—
263	C₂×D₄	—	106	8	no	—
264	C₂×D₄	—	106	16	no	—
265	C₂×D₄	—	106	4	no	—
266	C₂×D₄	—	106	8	no	—
267	C₂×D₄	—	106	8	no	—
268	C₂×D₄	—	212	32	no	—
269	C₂×D₄	—	212	8	no	—
270	C₂×D₄	—	212	4	no	—
271	C₂×D₄	—	212	64	no	—
272	C₂×D₄	—	212	4	no	—
273	C₂×D₄	—	212	8	no	—
274	C₂×D₄	—	212	8	no	—
275	C₂×D₄	—	212	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
282	C₂²×C₄	#11719913	1	8	yes	complemented
283	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	SD₁₆	—	212	32	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	complemented
292	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	1	no	—
303	C₂³	—	106	8	no	—
304	C₂³	—	424	16	no	—
305	C₂³	—	424	8	no	—
306	C₂³	—	424	8	no	—
307	C₂³	—	212	16	no	—
308	C₂³	—	212	32	no	—
309	C₂³	—	212	8	no	—
310	C₂³	—	212	8	no	—
311	C₂³	—	212	4	no	—
312	C₂³	—	212	4	no	—
313	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×#11719913	1	4	yes	—
315	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	212	8	no	—
317	D₄	—	106	16	no	—
318	D₄	—	212	16	no	—
319	D₄	—	212	32	no	—
320	D₄	—	212	32	no	—
321	D₄	—	212	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	16	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	212	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	4	no	—
330	C₂×C₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	—	212	2	no	—
332	C₂×C₄	—	212	2	no	—
333	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#13133245	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
341	C₈	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	424	32	no	—
347	C₂²	—	424	4	no	—
348	C₂²	—	424	8	no	—
349	C₂²	—	424	4	no	—
350	C₂²	—	212	8	no	—
351	C₂²	—	212	16	no	—
352	C₂²	#16810996	1	4	yes	complemented
353	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂²×#11719913	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂×#13133245	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	424	2	no	—
361	C₄	—	424	2	no	—
362	C₄	#16810776	1	8	yes	complemented
363	C₄	D₄×D₂₁₂	1	4	yes	—
364	C₂	—	2	4	no	—
365	C₂	—	424	8	no	—
366	C₂	#20278352	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#16810776	1	2	yes	—
368	C₂	C₂×#16810996	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20285167	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20285658	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#13133214	C₂
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25717
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810996	C₂	semidirect
3. C₂×#16810776	C₂	semidirect
4. #20283067	C₂	semidirect
5. #20275805	C₂	semidirect
6. #20275521	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
10. C₂²×#11719913	C₂²	semidirect
11. C₂×#13133217	C₂²	semidirect
19. C₂×#13133139	C₂²	semidirect
20. #16810529	C₂²	semidirect
22. #16810493	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
27. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
63. C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	semidirect
76. C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	semidirect
104. C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	semidirect
161. C₂²×C₅₃	#492	semidirect
175. C₄×C₅₃	#450	semidirect
185. C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	semidirect
207. C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	semidirect
212. #336	C₂×D₅₃	semidirect
213. C₅₃	#25717	semidirect
248. C₂²⋊C₈	D₂₁₂	semidirect
282. C₂²×C₄	#11719913	semidirect
291. C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	semidirect
352. C₂²	#16810996	semidirect
362. C₄	#16810776	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133214	2
C₂×#16810996	2
C₂×#16810776	2
#20283067	2
#20275805	2
#20275521	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#25717	53