Subgroups — #27438841

Order 13568.

1686 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810997	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810762	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20283060	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275798	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275518	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719924	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133191	—	2	2	no	—
11	C₂×#13133191	C₂²	1	2	yes	—
12	#16810997	—	2	8	no	—
13	#16810762	—	2	16	no	—
14	C₂×#13133141	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810525	—	2	2	no	—
18	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂×#11719924	—	2	16	no	—
32	C₂×#11719924	—	2	16	no	—
33	C₂×#11719924	—	4	8	no	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
35	#13133214	—	2	4	no	—
36	#13133191	—	2	8	no	—
37	#13133191	—	4	8	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
41	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
42	#13133141	—	2	16	no	—
43	C₂²⋊#88322	D₄	1	8	yes	complemented
44	C₄×#88322	—	2	4	no	—
45	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
46	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
54	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
56	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	32	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	#11719924	—	4	32	no	—
103	#11719921	—	4	4	no	—
104	#11719921	—	4	8	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂×#88322	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
121	Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
122	Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
123	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
142	C₂²⋊D₅₃	—	8	8	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	D₂₁₂	—	4	8	no	—
146	D₂₁₂	—	8	8	no	—
147	#88322	—	2	8	no	—
148	#25718	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	#492	1	4	yes	complemented
154	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
159	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
160	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
161	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
167	C₄×C₅₃	#448	1	8	yes	complemented
168	C₄×C₅₃	D₄²	1	4	yes	—
169	Dic₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
171	C₂×#492	—	53	2	no	—
172	C₂×#448	—	53	4	no	—
173	#2856	—	53	1	no	—
174	#2013	—	53	4	no	—
175	#1956	—	53	2	no	—
176	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
177	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂×#448	1	2	yes	—
180	C₂×C₅₃	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3152	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3206	1	2	yes	—
183	D₅₃	—	16	2	no	—
184	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
185	C₂²×SD₁₆	—	53	8	no	—
186	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	C₂×#127	—	53	1	no	—
191	C₂×#121	—	53	2	no	—
192	C₂×#121	—	106	2	no	—
193	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	#492	—	106	8	no	—
196	#448	—	106	16	no	—
197	C₂×#103	—	53	8	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
200	#390	—	53	2	no	—
201	#390	—	106	2	no	—
202	#384	—	53	1	no	—
203	#336	—	53	2	no	—
204	C₅₃	#25718	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
205	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
206	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
208	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
210	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
211	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
212	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
213	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
217	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
218	C₂×SD₁₆	—	212	8	no	—
219	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
220	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
221	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
222	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
223	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	complemented
224	#127	—	106	4	no	—
225	#121	—	106	8	no	—
226	#121	—	212	8	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
234	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#103	—	106	16	no	—
239	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
240	C₄×C₈	—	106	4	no	—
241	C₂⁴	—	106	2	no	—
242	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
250	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
251	C₂×D₄	—	106	4	no	—
252	C₂×D₄	—	106	4	no	—
253	C₂×D₄	—	106	4	no	—
254	C₂×D₄	—	212	4	no	—
255	C₂×D₄	—	212	8	no	—
256	C₂×D₄	—	212	4	no	—
257	C₂×D₄	—	212	4	no	—
258	C₂×D₄	—	212	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
268	C₂²×C₄	#11719924	1	8	yes	complemented
269	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	SD₁₆	—	212	32	no	—
275	C₂×C₈	—	53	8	no	—
276	C₂×C₈	—	106	4	no	—
277	C₂×C₈	—	106	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	212	2	no	—
291	C₂³	—	212	4	no	—
292	C₂³	—	212	4	no	—
293	C₂³	—	212	2	no	—
294	C₂³	—	212	2	no	—
295	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#11719924	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	2	16	no	—
299	Q₈	—	4	16	no	—
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	D₄	—	424	8	no	—
302	D₄	—	424	8	no	—
303	D₄	—	212	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	16	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	212	4	no	—
315	C₂×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂×C₄	#13133186	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#13133248	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
324	C₈	—	106	8	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	424	2	no	—
330	C₂²	—	424	2	no	—
331	C₂²	—	424	4	no	—
332	C₂²	—	424	2	no	—
333	C₂²	—	424	4	no	—
334	C₂²	#16810997	1	4	yes	complemented
335	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×#11719924	1	2	yes	—
339	C₂²	C₂×#13133248	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₄	—	424	2	no	—
344	C₄	#16810762	1	8	yes	complemented
345	C₄	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	—	848	2	no	—
348	C₂	#20278348	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#16810762	1	2	yes	—
350	C₂	C₂×#16810997	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#20285172	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20285640	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	#20283060	C₂
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25718
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810997	C₂	semidirect
2. C₂×#16810762	C₂	semidirect
4. #20275798	C₂	semidirect
5. #20275518	C₂	semidirect
6. C₄×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	semidirect
43. C₂²⋊#88322	D₄	semidirect
56. C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	semidirect
82. C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	semidirect
153. C₂²×C₅₃	#492	semidirect
167. C₄×C₅₃	#448	semidirect
170. C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃	semidirect
204. C₅₃	#25718	semidirect
223. C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	semidirect
268. C₂²×C₄	#11719924	semidirect
334. C₂²	#16810997	semidirect
344. C₄	#16810762	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810997	2
C₂×#16810762	2
#20283060	2
#20275798	2
#20275518	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#25718	53