Subgroups — #27438845

Order 13568.

1686 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810996	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810764	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20283060	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275800	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275517	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#11719913	C₂²	1	8	yes	—
10	C₂×#13133217	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133217	—	2	2	no	—
12	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133191	—	2	2	no	—
16	C₂×#13133191	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
18	#16810996	—	2	8	no	—
19	#16810764	—	2	16	no	—
20	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
21	#16810525	—	2	2	no	—
22	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
37	C₂×#11719913	—	2	16	no	—
38	C₂×#11719913	—	2	16	no	—
39	C₂×#11719913	—	4	8	no	—
40	#13133217	—	2	16	no	—
41	#13133217	—	2	4	no	—
42	#13133217	—	2	8	no	—
43	#13133217	D₄	1	8	yes	complemented
44	#13133214	—	2	4	no	—
45	#13133191	—	2	8	no	—
46	#13133191	—	4	8	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
53	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
54	#13133142	—	2	16	no	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
63	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	4	32	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	#11719921	—	4	4	no	—
104	#11719921	—	4	8	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
109	#11719913	—	4	32	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
135	C₂²⋊D₅₃	—	8	8	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
142	D₂₁₂	—	4	8	no	—
143	D₂₁₂	—	8	8	no	—
144	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
145	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
146	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
147	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
148	#25718	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	#492	1	4	yes	complemented
154	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
159	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
160	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
161	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₄×C₅₃	#448	1	8	yes	complemented
167	C₄×C₅₃	D₄²	1	4	yes	—
168	Dic₅₃	—	4	8	no	—
169	Dic₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂²×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
171	C₂×#492	—	53	2	no	—
172	C₂×#448	—	53	4	no	—
173	#2856	—	53	1	no	—
174	#2013	—	53	4	no	—
175	#1956	—	53	2	no	—
176	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
177	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂×#448	1	2	yes	—
180	C₂×C₅₃	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3152	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3206	1	2	yes	—
183	D₅₃	—	16	2	no	—
184	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
185	C₂²×SD₁₆	—	53	8	no	—
186	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
187	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
188	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
189	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
190	C₂×#127	—	53	1	no	—
191	C₂×#121	—	53	2	no	—
192	C₂×#121	—	106	2	no	—
193	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
194	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	#492	—	106	8	no	—
196	#448	—	106	16	no	—
197	C₂×#103	—	53	8	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#390	—	53	2	no	—
201	#390	—	106	2	no	—
202	#384	—	53	1	no	—
203	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₅₃	#25718	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
205	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
206	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
207	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
208	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
209	C₂²×Q₈	—	212	4	no	—
210	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
211	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
212	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
213	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
214	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
217	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
218	C₂×SD₁₆	—	212	8	no	—
219	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
220	C₄⋊Q₈	—	53	8	no	—
221	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
222	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
223	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
224	#127	—	106	4	no	—
225	#121	—	106	8	no	—
226	#121	—	212	8	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
234	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
236	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#103	—	106	16	no	—
239	C₂²⋊C₈	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂⁴	—	106	2	no	—
242	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
243	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	212	32	no	—
249	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
251	C₂×D₄	—	106	4	no	—
252	C₂×D₄	—	106	4	no	—
253	C₂×D₄	—	106	4	no	—
254	C₂×D₄	—	212	4	no	—
255	C₂×D₄	—	212	8	no	—
256	C₂×D₄	—	212	4	no	—
257	C₂×D₄	—	212	4	no	—
258	C₂×D₄	—	212	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
268	C₂²×C₄	#11719913	1	8	yes	complemented
269	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	SD₁₆	—	212	32	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
278	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	212	2	no	—
291	C₂³	—	212	4	no	—
292	C₂³	—	212	4	no	—
293	C₂³	—	212	2	no	—
294	C₂³	—	212	2	no	—
295	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#11719913	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	106	16	no	—
299	Q₈	—	212	16	no	—
300	Q₈	—	212	8	no	—
301	D₄	—	424	8	no	—
302	D₄	—	424	8	no	—
303	D₄	—	212	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	106	8	no	—
311	C₂×C₄	—	212	4	no	—
312	C₂×C₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	—	212	16	no	—
314	C₂×C₄	—	212	4	no	—
315	C₂×C₄	—	212	4	no	—
316	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#13133250	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
324	C₈	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	424	4	no	—
330	C₂²	—	424	2	no	—
331	C₂²	—	424	2	no	—
332	C₂²	—	424	4	no	—
333	C₂²	—	424	2	no	—
334	C₂²	#16810996	1	4	yes	complemented
335	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×#11719913	1	2	yes	—
339	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	424	2	no	—
343	C₄	—	212	8	no	—
344	C₄	#16810764	1	8	yes	complemented
345	C₄	D₄×D₂₁₂	1	4	yes	—
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	—	848	2	no	—
348	C₂	#20278352	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#16810764	1	2	yes	—
350	C₂	C₂×#16810996	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#20285174	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20285642	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	#20283060	C₂
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25718
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133217	C₂	semidirect
2. C₂×#16810996	C₂	semidirect
3. C₂×#16810764	C₂	semidirect
5. #20275800	C₂	semidirect
6. #20275517	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
43. #13133217	D₄	semidirect
62. C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	semidirect
70. C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	semidirect
153. C₂²×C₅₃	#492	semidirect
166. C₄×C₅₃	#448	semidirect
176. C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	semidirect
204. C₅₃	#25718	semidirect
239. C₂²⋊C₈	D₂₁₂	semidirect
268. C₂²×C₄	#11719913	semidirect
334. C₂²	#16810996	semidirect
344. C₄	#16810764	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133217	2
C₂×#16810996	2
C₂×#16810764	2
#20283060	2
#20275800	2
#20275517	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#25718	53