Subgroups — #27438931

Order 13568.

1586 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811018	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810785	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20283067	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275803	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275532	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₅₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#11719925	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#11719923	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133196	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811018	—	2	8	no	—
14	#16810785	—	2	16	no	—
15	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810521	—	2	2	no	—
21	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810483	—	2	2	no	—
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#532	—	2	8	no	—
26	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#121×C₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
34	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
35	C₂×#11719925	—	4	4	no	—
36	C₂×#11719923	—	2	8	no	—
37	C₂×#11719923	—	2	8	no	—
38	C₂×#11719923	—	4	4	no	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
40	#13133217	—	2	4	no	—
41	#13133196	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	#13133141	—	2	8	no	—
48	#13133138	—	2	8	no	—
49	C₂²⋊#88322	D₄	1	8	yes	complemented
50	#13133128	—	2	4	no	—
51	#13133124	—	2	4	no	—
52	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
55	C₂×#41×C₅₃	—	4	4	no	—
56	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	#127×C₅₃	—	2	4	no	—
65	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
66	#124×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
67	#121×C₅₃	—	2	16	no	—
68	C₄×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
78	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
112	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
115	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
119	#11719925	—	4	16	no	—
120	#11719923	—	4	16	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
124	#11719919	—	4	4	no	—
125	C₂×#88322	—	2	4	no	—
126	C₂×#88322	—	2	4	no	—
127	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
128	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
138	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
140	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
141	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
142	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
143	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
144	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
158	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
159	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
168	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
169	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
170	#88322	—	2	8	no	—
171	#25728	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
182	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
186	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
190	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
191	C₄×C₅₃	D₄²	1	4	yes	—
192	Dic₅₃	—	8	2	no	—
193	Dic₅₃	—	8	2	no	—
194	C₂×#532	D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂×#497	—	53	2	no	—
196	C₂×#452	—	53	4	no	—
197	#2857	—	53	1	no	—
198	#2016	—	53	2	no	—
199	#2014	—	53	2	no	—
200	#1959	—	53	2	no	—
201	#1749	—	53	1	no	—
202	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
203	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
204	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₅₃	#3007	1	2	yes	—
206	C₂×C₅₃	#3150	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₅₃	#3152	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₅₃	#3216	1	2	yes	—
209	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
210	C₂²×Q₁₆	—	53	4	no	—
211	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
212	#532	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
218	C₂×#121	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#497	—	106	8	no	—
222	#452	—	106	16	no	—
223	C₂×#103	—	53	4	no	—
224	C₂×#102	—	53	4	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
226	C₂×#97	—	53	2	no	—
227	#391	—	53	2	no	—
228	#389	—	106	2	no	—
229	#384	—	53	1	no	—
230	#380	—	106	2	no	—
231	#336	—	53	2	no	—
232	C₅₃	#25728	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
233	C₂×#41	—	2	4	no	—
234	C₂×#41	—	2	4	no	—
235	C₂×#41	—	2	8	no	—
236	C₂×#41	—	4	4	no	—
237	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
238	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
246	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
247	C₂×Q₁₆	—	212	4	no	—
248	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
249	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
250	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
251	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
252	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
253	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
254	#127	—	2	4	no	—
255	#124	—	2	4	no	—
256	#124	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
257	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
258	#121	—	2	16	no	—
259	C₄×D₄	—	2	16	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
262	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
263	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
265	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
267	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
269	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	#103	—	106	8	no	—
272	#102	—	106	8	no	—
273	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
274	#97	—	106	4	no	—
275	#95	—	106	4	no	—
276	C₂⁴	—	2	2	no	—
277	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	#41	—	4	16	no	—
279	#41	—	4	16	no	—
280	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
281	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
282	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
283	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
284	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
285	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
287	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
288	C₂×D₄	—	2	8	no	—
289	C₂×D₄	—	2	8	no	—
290	C₂×D₄	—	2	4	no	—
291	C₂×D₄	—	2	2	no	—
292	C₂×D₄	—	2	4	no	—
293	C₂×D₄	—	4	4	no	—
294	C₂×D₄	—	4	4	no	—
295	C₂×D₄	—	4	4	no	—
296	C₂×D₄	—	4	4	no	—
297	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
298	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
309	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
310	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
313	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	Q₁₆	—	212	16	no	—
315	SD₁₆	—	212	16	no	—
316	C₂×C₈	—	53	8	no	—
317	C₂×C₈	—	106	4	no	—
318	C₂×C₈	—	106	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	—	2	2	no	—
328	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
329	C₂³	—	2	1	no	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	1	no	—
333	C₂³	—	2	4	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
339	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	2	8	no	—
341	Q₈	—	4	4	no	—
342	Q₈	—	212	4	no	—
343	Q₈	—	212	4	no	—
344	D₄	—	2	8	no	—
345	D₄	—	4	16	no	—
346	D₄	—	4	16	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	1	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	16	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	212	2	no	—
361	C₂×C₄	—	212	2	no	—
362	C₂×C₄	—	212	2	no	—
363	C₂×C₄	—	212	4	no	—
364	C₂×C₄	—	212	2	no	—
365	C₂×C₄	#13133186	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#13133247	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
371	C₈	—	106	8	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#13133247	1	2	yes	—
386	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	2	4	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	424	2	no	—
392	C₄	—	424	2	no	—
393	C₄	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
394	C₂	—	4	2	no	—
395	C₂	—	8	4	no	—
396	C₂	#20278348	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#20283975	1	2	yes	—
398	C₂	#20285160	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#20285175	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20285726	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₂×C₅₃×#532	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×#532	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25728
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811018	C₂	semidirect
2. C₂×#16810785	C₂	semidirect
3. #20283067	C₂	semidirect
4. #20275815	C₂	semidirect
5. #20275803	C₂	semidirect
6. #20275532	C₂	semidirect
7. #20274477	C₂	semidirect
49. C₂²⋊#88322	D₄	semidirect
232. C₅₃	#25728	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811018	2
C₂×#16810785	2
#20283067	2
#20275815	2
#20275803	2
#20275532	2
#20274477	2
C₂×C₅₃×#532	2
#25728	53