Subgroups — #27439056

Order 13568.

1458 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20285172	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810805	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275761	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275633	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#13133136	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#2546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133265	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133248	C₂²	1	8	yes	—
10	#16811295	—	2	2	no	—
11	Q₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
12	#16811285	—	2	4	no	—
13	#16811204	—	2	2	no	—
14	#16811204	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811173	—	2	2	no	—
16	#16811173	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811015	—	2	4	no	—
18	#16811002	—	2	2	no	—
19	#16810997	—	2	2	no	—
20	#16810805	—	2	16	no	—
21	C₂×#13133145	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#13133136	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#398	—	2	2	no	—
29	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
30	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
31	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#13133265	—	2	8	no	—
33	#13133265	—	4	4	no	—
34	C₂×#11719949	—	2	4	no	—
35	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
36	C₂×#11719945	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	4	no	—
38	#13133248	—	2	16	no	—
39	#13133248	—	4	8	no	—
40	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
41	C₂×#11719924	—	2	8	no	—
42	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
43	#13133217	—	2	2	no	—
44	#13133217	D₄	1	2	yes	—
45	#13133214	—	2	2	no	—
46	#13133214	D₄	1	2	yes	—
47	#13133205	—	2	4	no	—
48	#13133205	D₄	1	4	yes	—
49	#13133197	—	2	8	no	—
50	#13133197	—	2	4	no	—
51	#13133192	—	2	8	no	—
52	#13133192	—	2	4	no	—
53	#13133191	—	2	2	no	—
54	#13133191	—	2	4	no	—
55	#13133191	—	2	2	no	—
56	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
57	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
58	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
59	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
60	#13133145	—	2	16	no	—
61	#13133136	D₄	1	8	yes	complemented
62	#13133128	—	2	2	no	—
63	C₄×#88322	—	2	2	no	—
64	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#95×C₅₃	—	2	1	no	—
81	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
96	#11719949	—	4	16	no	—
97	Q₈×D₅₃	—	4	16	no	—
98	#11719945	—	2	8	no	—
99	#11719945	—	2	8	no	—
100	#11719945	—	4	8	no	—
101	#11719945	—	4	8	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	#11719925	—	4	16	no	—
124	#11719924	—	4	16	no	—
125	#11719921	—	2	8	no	—
126	#11719921	—	2	4	no	—
127	#11719921	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
129	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	#11719917	—	2	4	no	—
132	#11719917	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂×#88322	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
137	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
157	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
160	D₂₁₂	—	2	8	no	—
161	D₂₁₂	—	4	8	no	—
162	D₂₁₂	—	4	4	no	—
163	D₂₁₂	—	8	2	no	—
164	D₂₁₂	—	8	4	no	—
165	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
166	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
167	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
168	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
169	#88322	—	2	8	no	—
170	#25740	—	53	1	no	maximal, Sylow
171	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
176	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
182	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
183	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
184	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
185	C₄×C₅₃	#456	1	2	yes	complemented
186	C₄×C₅₃	D₄²	1	4	yes	—
187	Dic₅₃	—	4	4	no	—
188	#3497	—	53	1	no	—
189	#3152	—	53	2	no	—
190	C₂×#456	—	53	4	no	—
191	#2546	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
192	#2007	—	53	4	no	—
193	#1980	—	53	2	no	—
194	C₄×#101	—	53	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
196	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
197	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	C₂×#456	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₅₃	#3022	1	1	yes	characteristic
200	D₅₃	—	8	4	no	—
201	C₂×2₋¹⁺⁴	—	53	2	no	—
202	C₂×#137	—	53	8	no	—
203	#550	—	106	2	no	—
204	D₄×Q₈	—	106	2	no	—
205	#548	—	106	4	no	—
206	#537	—	53	2	no	—
207	#537	—	106	2	no	—
208	#532	—	53	2	no	—
209	#532	—	106	2	no	—
210	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	#497	—	106	4	no	—
214	#494	—	106	2	no	—
215	#492	—	106	2	no	—
216	#456	—	106	16	no	—
217	C₂×#104	—	53	8	no	—
218	C₂×#101	—	53	2	no	—
219	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
220	#398	—	2	2	no	—
221	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
222	#389	—	2	2	no	—
223	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	#343	—	53	2	no	—
225	C₅₃	#25740	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
226	2₋¹⁺⁴	—	106	8	no	—
227	2₋¹⁺⁴	—	212	4	no	—
228	C₂×#41	—	53	4	no	—
229	C₂×#41	—	106	4	no	—
230	C₂×#41	—	106	4	no	—
231	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
232	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
233	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#137	—	106	16	no	—
235	#137	—	212	8	no	—
236	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
237	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
238	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
239	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
240	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
241	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
242	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
244	#127	—	53	2	no	—
245	#127	—	106	2	no	—
246	#124	—	53	4	no	—
247	#124	—	106	4	no	—
248	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
249	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
250	#121	—	106	4	no	—
251	#121	—	106	8	no	—
252	#121	—	106	2	no	—
253	#121	—	106	2	no	—
254	#121	—	106	4	no	—
255	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
256	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
257	C₄×D₄	—	106	4	no	—
258	C₄×D₄	—	106	4	no	—
259	C₄×D₄	—	106	2	no	—
260	C₄×D₄	—	106	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
266	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
268	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
269	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	#104	—	106	16	no	—
271	#101	—	53	8	no	—
272	#97	—	106	2	no	—
273	C₄×C₈	—	106	2	no	—
274	#95	—	2	1	no	—
275	#95	—	2	4	no	—
276	#41	—	106	8	no	—
277	#41	—	106	8	no	—
278	#41	—	212	8	no	—
279	#41	—	212	16	no	—
280	#41	—	212	8	no	—
281	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
282	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
284	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
285	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
286	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
288	C₂×Q₈	—	212	16	no	—
289	C₂×Q₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
290	C₂×D₄	—	53	4	no	—
291	C₂×D₄	—	106	4	no	—
292	C₂×D₄	—	106	4	no	—
293	C₂×D₄	—	106	4	no	—
294	C₂×D₄	—	106	2	no	—
295	C₂×D₄	—	106	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
299	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
300	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	Q₁₆	—	212	16	no	—
306	SD₁₆	—	212	16	no	—
307	M₁₆	—	53	8	no	—
308	M₁₆	—	106	4	no	—
309	C₂×C₈	—	106	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
327	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
328	C₂³	—	106	4	no	—
329	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	2	8	no	—
331	Q₈	—	4	8	no	—
332	Q₈	—	106	8	no	—
333	Q₈	—	212	8	no	—
334	D₄	—	106	8	no	—
335	D₄	—	424	2	no	—
336	D₄	—	424	4	no	—
337	D₄	—	212	8	no	—
338	D₄	—	212	4	no	—
339	D₄	—	212	4	no	—
340	D₄	—	212	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	106	4	no	—
354	C₂×C₄	—	212	16	no	—
355	C₂×C₄	—	212	8	no	—
356	C₂×C₄	#13133185	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#13133185	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#13133213	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
363	C₈	—	106	8	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	212	4	no	—
367	C₂²	—	212	4	no	—
368	C₂²	—	212	4	no	—
369	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	8	2	no	—
378	C₄	—	212	4	no	—
379	C₄	#16810805	1	2	yes	complemented
380	C₄	#16811257	1	4	yes	—
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	424	4	no	—
384	C₂	#20278353	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×#16810805	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20284093	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133185
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2546	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	#20288486	C₂
hypercenter	#2546	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25740
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #2546

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20285172	C₂	semidirect
3. C₂×#16810805	C₂	semidirect
4. #20275761	C₂	semidirect
5. #20275633	C₂	semidirect
6. C₄×#13133136	C₂	semidirect
7. C₅₃×#2546	C₂	semidirect
61. #13133136	D₄	semidirect
185. C₄×C₅₃	#456	semidirect
191. #2546	D₅₃	semidirect
225. C₅₃	#25740	semidirect
379. C₄	#16810805	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288486	2
#20285172	2
C₂×#16810805	2
#20275761	2
#20275633	2
C₄×#13133136	2
C₅₃×#2546	2
#25740	53