Subgroups — #27439058

Order 13568.

1526 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810796	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20279714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275757	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275635	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#13133136	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#3497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133242	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133206	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811013	—	2	4	no	—
12	#16810999	—	2	2	no	—
13	#16810997	—	2	2	no	—
14	#16810796	—	2	16	no	—
15	C₂×#13133144	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×#13133136	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810540	—	2	2	no	—
19	#16810525	—	2	2	no	—
20	#16810524	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×2₋¹⁺⁴×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#550	—	2	2	no	—
25	D₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
26	C₅₃×#548	—	2	4	no	—
27	C₅₃×#537	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#537	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#532	—	2	2	no	—
30	C₅₃×#532	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
35	#13133242	—	2	16	no	—
36	#13133242	—	4	8	no	—
37	C₂×#11719924	—	2	8	no	—
38	C₂×#11719922	—	2	8	no	—
39	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
40	#13133214	—	2	2	no	—
41	#13133214	—	2	2	no	—
42	#13133206	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	#13133144	—	2	16	no	—
48	#13133136	D₄	1	8	yes	complemented
49	#13133128	—	2	2	no	—
50	C₄×#88322	—	2	2	no	—
51	#13133124	—	2	1	no	—
52	2₋¹⁺⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
53	2₋¹⁺⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
54	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
62	#127×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
64	#124×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
65	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
67	#121×C₅₃	—	2	8	no	—
68	#121×C₅₃	—	2	4	no	—
69	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
70	#121×C₅₃	—	2	4	no	—
71	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
83	#41×C₅₃	—	2	8	no	—
84	#41×C₅₃	—	2	8	no	—
85	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
86	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
87	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
88	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
109	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
110	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
111	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
112	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
113	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
114	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
115	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	#11719924	—	4	16	no	—
129	#11719922	—	4	16	no	—
130	#11719921	—	4	8	no	—
131	#11719921	—	8	4	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
133	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
134	#11719917	—	2	4	no	—
135	#11719917	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂×#88322	—	2	4	no	—
137	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
144	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
145	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
146	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
147	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
148	D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
149	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
150	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
151	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
152	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
153	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
164	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
167	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
170	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
172	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
173	D₂₁₂	—	4	8	no	—
174	D₂₁₂	—	8	2	no	—
175	D₂₁₂	—	8	4	no	—
176	D₂₁₂	—	8	2	no	—
177	#88322	—	2	8	no	—
178	#25741	—	53	1	no	maximal, Sylow
179	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
187	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
188	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
189	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
190	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
192	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
193	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
194	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
195	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
196	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
197	C₄×C₅₃	#454	1	2	yes	complemented
198	C₄×C₅₃	D₄²	1	4	yes	—
199	Dic₅₃	—	8	2	no	—
200	#3497	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
201	#3151	—	53	2	no	—
202	C₂×#454	—	53	4	no	—
203	#2548	—	53	1	no	—
204	#2006	—	53	4	no	—
205	#1980	—	53	2	no	—
206	C₄×#101	—	53	1	no	—
207	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
208	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
209	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
210	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	C₂×#454	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₅₃	#3021	1	1	yes	characteristic
213	D₅₃	—	16	2	no	—
214	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	8	no	—
216	#550	—	2	2	no	—
217	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
218	#548	—	2	4	no	—
219	#537	—	2	2	no	—
220	#537	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
221	#532	—	2	2	no	—
222	#532	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂×#127	—	53	1	no	—
224	C₂×#124	—	53	2	no	—
225	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	#496	—	106	4	no	—
227	#493	—	106	2	no	—
228	#492	—	106	2	no	—
229	#454	—	106	16	no	—
230	C₂×#104	—	53	8	no	—
231	C₂×#101	—	53	2	no	—
232	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
233	#394	—	106	2	no	—
234	#390	—	53	2	no	—
235	#390	—	106	2	no	—
236	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
237	#343	—	53	2	no	—
238	C₅₃	#25741	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
239	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
240	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
241	C₂×#41	—	2	4	no	—
242	C₂×#41	—	2	4	no	—
243	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
244	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
247	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
248	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
249	AGL(1,ℤ/8)	—	106	16	no	—
250	AGL(1,ℤ/8)	—	212	8	no	—
251	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
252	C₂×D₈	—	106	8	no	—
253	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
254	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
255	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
256	#127	—	2	2	no	—
257	#127	—	106	2	no	—
258	#127	—	106	2	no	—
259	#127	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
260	#124	—	2	4	no	—
261	#124	—	106	8	no	—
262	#124	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
263	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
264	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
265	#121	—	2	8	no	—
266	#121	—	2	4	no	—
267	#121	—	2	2	no	—
268	#121	—	2	4	no	—
269	#121	—	2	2	no	—
270	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
271	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
272	C₄×D₄	—	2	4	no	—
273	C₄×D₄	—	2	4	no	—
274	C₄×D₄	—	2	2	no	—
275	C₄×D₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
277	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
280	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
281	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
282	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	#104	—	106	16	no	—
285	#101	—	53	8	no	—
286	#97	—	106	2	no	—
287	C₄×C₈	—	106	2	no	—
288	#95	—	106	1	no	—
289	C₂⁴	—	106	2	no	—
290	#41	—	2	8	no	—
291	#41	—	2	8	no	—
292	#41	—	4	8	no	—
293	#41	—	4	16	no	—
294	#41	—	4	8	no	—
295	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
296	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
297	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
298	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
299	C₂×Q₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
300	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
301	C₂×D₄	—	2	4	no	—
302	C₂×D₄	—	2	4	no	—
303	C₂×D₄	—	2	4	no	—
304	C₂×D₄	—	2	2	no	—
305	C₂×D₄	—	2	2	no	—
306	C₂×D₄	—	106	4	no	—
307	C₂×D₄	—	106	4	no	—
308	C₂×D₄	—	106	4	no	—
309	C₂×D₄	—	424	2	no	—
310	C₂×D₄	—	212	4	no	—
311	C₂×D₄	—	212	1	no	—
312	C₂×D₄	—	212	2	no	—
313	C₂×D₄	—	212	1	no	—
314	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
315	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
318	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
319	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
321	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	SD₁₆	—	212	16	no	—
324	D₈	—	212	16	no	—
325	M₁₆	—	53	8	no	—
326	M₁₆	—	106	4	no	—
327	C₂×C₈	—	106	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
339	C₄²	—	2	2	no	—
340	C₄²	—	2	2	no	—
341	C₄²	—	106	4	no	—
342	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
343	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂³	—	2	4	no	—
345	C₂³	—	212	4	no	—
346	C₂³	—	212	4	no	—
347	C₂³	—	212	2	no	—
348	C₂³	—	212	2	no	—
349	C₂³	—	212	2	no	—
350	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	Q₈	—	2	8	no	—
352	Q₈	—	2	8	no	—
353	Q₈	—	4	8	no	—
354	D₄	—	2	8	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	4	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	4	no	—
361	D₄	—	424	4	no	—
362	D₄	—	424	2	no	—
363	D₄	—	424	2	no	—
364	D₄	—	212	8	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	16	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	212	2	no	—
375	C₂×C₄	—	212	2	no	—
376	C₂×C₄	—	212	2	no	—
377	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#13133213	1	4	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
384	C₈	—	106	8	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	424	4	no	—
391	C₂²	—	424	4	no	—
392	C₂²	—	424	2	no	—
393	C₂²	—	424	2	no	—
394	C₂²	—	424	2	no	—
395	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
398	C₄	—	2	4	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	424	2	no	—
404	C₄	#16810796	1	2	yes	complemented
405	C₄	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	8	4	no	—
409	C₂	—	848	2	no	—
410	C₂	#20278348	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×#16810796	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#20284087	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133186
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3497	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
hypercenter	#3497	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25741
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3497

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285168	C₂	semidirect
2. C₂×#16810796	C₂	semidirect
3. #20279714	C₂	semidirect
4. #20275757	C₂	semidirect
5. #20275635	C₂	semidirect
6. C₄×#13133136	C₂	semidirect
7. C₅₃×#3497	C₂	semidirect
48. #13133136	D₄	semidirect
197. C₄×C₅₃	#454	semidirect
200. #3497	D₅₃	semidirect
238. C₅₃	#25741	semidirect
404. C₄	#16810796	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285168	2
C₂×#16810796	2
#20279714	2
#20275757	2
#20275635	2
C₄×#13133136	2
C₅₃×#3497	2
#25741	53