Subgroups — #27439464

Order 13568.

1486 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16811001	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810778	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20278360	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275816	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275574	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×C₂²⋊Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×C₅₃×#467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
11	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#11719925	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133215	C₂²	1	4	yes	—
16	#16811001	—	2	8	no	—
17	#16810778	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133140	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810543	—	2	4	no	—
22	#16810528	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810495	—	2	4	no	—
24	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#467	—	2	4	no	—
30	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#103×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	—	2	32	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	8	yes	—
45	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
46	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
47	C₂×#11719925	—	4	4	no	—
48	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133215	—	2	8	no	—
50	#13133215	—	4	4	no	—
51	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133140	—	2	8	no	—
55	C₂²⋊#88322	D₄	1	4	yes	—
56	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
57	#13133124	—	2	8	no	—
58	#13133124	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
73	#103×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
102	Q₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
111	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	Q₁₆	1	8	yes	complemented
113	#11719925	—	4	16	no	—
114	#11719919	—	4	16	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
121	Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
128	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
129	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	C₂×Q₁₆	1	8	yes	complemented
150	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
151	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
153	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
154	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₈×C₅₃	#120	1	4	yes	—
157	#88322	—	2	4	no	—
158	#25780	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₅₃	#494	1	4	yes	complemented
163	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
166	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
171	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
173	Dic₅₃	—	2	8	no	—
174	Dic₅₃	—	4	8	no	—
175	C₂³×Q₁₆	—	53	1	no	—
176	C₂×#494	—	53	2	no	—
177	C₂×#467	D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	C₂×#451	—	53	2	no	—
179	#2434	—	53	2	no	—
180	#2016	—	53	4	no	—
181	#1969	—	53	2	no	—
182	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
183	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
184	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#3156	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
188	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
189	C₂²×Q₁₆	—	53	4	no	—
190	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
191	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
192	C₂²×Q₁₆	—	106	8	no	—
193	C₂²×Q₁₆	—	106	4	no	—
194	C₂²×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
198	#494	—	106	8	no	—
199	#467	—	2	4	no	—
200	#451	—	106	8	no	—
201	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂×#103	—	53	4	no	—
203	C₂×#103	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
205	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
206	#395	—	106	4	no	—
207	#391	—	53	4	no	—
208	#385	—	106	4	no	—
209	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
210	#336	—	53	2	no	—
211	C₅₃	#25780	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
212	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
213	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
214	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
215	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
216	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
217	C₂²×Q₈	—	212	4	no	—
218	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
219	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
220	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	53	8	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	106	32	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
229	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
230	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
231	C₂×Q₁₆	—	212	4	no	—
232	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
234	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
235	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
238	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
239	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
246	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
247	#107	—	2	2	no	—
248	#103	—	2	4	no	—
249	#103	—	106	8	no	—
250	C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
251	C₄×C₈	—	106	4	no	—
252	#95	—	53	2	no	—
253	#95	—	106	8	no	—
254	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
261	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
267	C₂×Q₈	—	212	16	no	—
268	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
269	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
278	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	Q₁₆	—	4	4	no	—
283	Q₁₆	—	106	16	no	—
284	Q₁₆	—	106	16	no	—
285	Q₁₆	—	212	16	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	53	4	no	—
289	C₂×C₈	—	106	2	no	—
290	C₂×C₈	—	106	2	no	—
291	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	212	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
300	C₄²	—	106	2	no	—
301	C₄²	—	106	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
305	C₂³	Q₁₆×D₅₃	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	4	4	no	—
310	Q₈	—	106	8	no	—
311	Q₈	—	106	8	no	—
312	Q₈	—	212	16	no	—
313	Q₈	—	212	4	no	—
314	Q₈	—	212	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	53	8	no	—
324	C₂×C₄	—	106	4	no	—
325	C₂×C₄	—	106	4	no	—
326	C₂×C₄	—	106	8	no	—
327	C₂×C₄	—	212	16	no	—
328	C₂×C₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	—	212	4	no	—
330	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	106	4	no	—
337	C₈	#13133185	1	4	yes	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	#16811001	1	4	yes	complemented
342	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#16811257	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×Q₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
345	C₂²	#16811437	1	2	yes	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₄	—	8	2	no	—
349	C₄	—	106	8	no	—
350	C₄	—	212	8	no	—
351	C₄	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#16811187	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#16811257	1	2	yes	—
354	C₂	—	2	4	no	—
355	C₂	#20278353	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#16811001	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20285210	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20286464	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#467	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂×#467	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25780
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#467

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16811001	C₂	semidirect
5. #20275816	C₂	semidirect
6. #20275574	C₂	semidirect
112. C₂²⋊Dic₅₃	Q₁₆	semidirect
149. C₂×Dic₅₃	C₂×Q₁₆	semidirect
162. C₂²×C₅₃	#494	semidirect
211. C₅₃	#25780	semidirect
341. C₂²	#16811001	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₁₂	2
C₂×#16811001	2
C₂×#16810778	2
#20278360	2
#20275816	2
#20275574	2
C₈×C₂²⋊Dic₅₃	2
C₂×C₅₃×#467	2
#25780	53