Subgroups — #27439479

Order 13568.

1538 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16811007	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#16810764	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20278373	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275812	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20275576	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
11	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#11719913	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133205	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133191	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811007	—	2	8	no	—
19	#16810859	—	2	4	no	—
20	#16810764	—	2	8	no	—
21	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810536	—	2	4	no	—
25	#16810529	C₂²	1	4	yes	—
26	#16810500	—	2	4	no	—
27	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	32	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
46	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	8	yes	complemented
47	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
48	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
49	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
50	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
51	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
52	#13133205	—	2	8	no	—
53	#13133205	—	4	4	no	—
54	#13133191	—	2	4	no	—
55	#13133191	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
58	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
59	#13133151	—	2	2	no	—
60	#13133142	—	2	8	no	—
61	#13133139	—	2	4	no	—
62	#13133124	—	2	8	no	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
72	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
73	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
74	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
115	#11719921	—	4	16	no	—
116	#11719921	—	4	4	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
120	Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
121	D₄₂₄	—	4	4	no	—
122	#11719913	—	4	16	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	#135	1	4	yes	—
127	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
144	C₂²⋊D₅₃	—	8	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
151	D₂₁₂	—	4	2	no	—
152	D₂₁₂	—	4	2	no	—
153	D₂₁₂	—	4	4	no	—
154	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
155	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
156	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
157	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₈×C₅₃	#120	1	4	yes	—
162	#25782	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₅₃	#495	1	4	yes	complemented
167	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
170	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
171	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
177	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	4	8	no	—
181	Dic₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂³×Q₁₆	—	53	1	no	—
183	C₂×#495	—	53	2	no	—
184	C₂×#466	—	53	1	no	—
185	C₂×#448	—	53	2	no	—
186	#2436	—	53	2	no	—
187	#2015	—	53	4	no	—
188	#1969	—	53	2	no	—
189	C₈×C₂²⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
190	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
191	C₂×C₅₃	#2433	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#3156	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3285	1	4	yes	—
195	D₅₃	—	16	2	no	—
196	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
197	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
198	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
199	C₂²×Q₁₆	—	106	8	no	—
200	C₂²×Q₁₆	—	106	4	no	—
201	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
202	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
203	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂×#124	—	53	4	no	—
205	C₂×#121	—	53	2	no	—
206	#495	—	106	8	no	—
207	#466	—	106	4	no	—
208	#448	—	106	8	no	—
209	C₂×#107	—	53	1	no	—
210	C₂×#103	—	53	4	no	—
211	C₂×#102	—	53	2	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
214	#393	—	106	4	no	—
215	#391	—	53	4	no	—
216	#386	—	106	4	no	—
217	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
219	C₅₃	#25782	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
220	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
221	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
222	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
223	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
224	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
225	C₂²×Q₈	—	212	4	no	—
226	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
228	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
229	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×Q₁₆	—	53	8	no	—
231	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
232	C₂×Q₁₆	—	106	32	no	—
233	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
234	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
235	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
236	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
237	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
238	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
239	C₂×D₈	—	106	2	no	—
240	C₂×D₈	—	106	4	no	—
241	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	4	yes	—
243	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	#124	—	106	8	no	—
247	#124	—	212	4	no	—
248	#121	—	106	4	no	—
249	#121	—	106	4	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
254	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
255	#107	—	106	2	no	—
256	#103	—	106	8	no	—
257	#102	—	106	4	no	—
258	C₂²⋊C₈	D₂₁₂	1	4	yes	—
259	C₄×C₈	—	2	4	no	—
260	#95	—	106	8	no	—
261	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
262	C₂⁴	—	106	2	no	—
263	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
264	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
270	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
272	C₂×Q₈	—	212	16	no	—
273	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
274	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
275	C₂×D₄	—	106	4	no	—
276	C₂×D₄	—	106	2	no	—
277	C₂×D₄	—	106	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	4	no	—
279	C₂×D₄	—	212	4	no	—
280	C₂×D₄	—	212	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
286	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
287	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	Q₁₆	—	106	16	no	—
293	Q₁₆	—	106	16	no	—
294	SD₁₆	—	212	16	no	—
295	D₈	—	212	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	8	no	—
300	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
301	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
304	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	212	16	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	212	4	no	—
314	C₂³	—	212	2	no	—
315	C₂³	—	212	4	no	—
316	C₂³	—	212	4	no	—
317	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
318	C₂³	#13133239	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	106	8	no	—
321	Q₈	—	106	8	no	—
322	Q₈	—	212	16	no	—
323	Q₈	—	212	4	no	—
324	Q₈	—	212	4	no	—
325	D₄	—	424	8	no	—
326	D₄	—	212	2	no	—
327	D₄	—	212	2	no	—
328	D₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	106	8	no	—
337	C₂×C₄	—	212	4	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	16	no	—
340	C₂×C₄	—	212	4	no	—
341	C₂×C₄	—	212	4	no	—
342	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	4	no	—
349	C₈	#13133187	1	4	yes	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	8	no	—
353	C₂²	—	424	2	no	—
354	C₂²	—	424	2	no	—
355	C₂²	—	424	2	no	—
356	C₂²	—	424	8	no	—
357	C₂²	#16811007	1	4	yes	complemented
358	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
361	C₂²	#16811440	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	424	2	no	—
365	C₄	—	212	8	no	—
366	C₄	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#16811192	1	1	yes	characteristic
368	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
369	C₂	—	2	4	no	—
370	C₂	—	848	2	no	—
371	C₂	#20278352	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#16811007	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20285209	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#20286458	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#16810859	C₂
hypercenter	C₈×C₂²⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25782
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
2. C₂×#16811007	C₂	semidirect
4. C₂×#16810764	C₂	semidirect
5. #20278373	C₂	semidirect
6. #20275812	C₂	semidirect
7. #20275576	C₂	semidirect
8. C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂	semidirect
46. C₂×Dic₂₁₂	D₄	semidirect
166. C₂²×C₅₃	#495	semidirect
189. C₈×C₂²⋊C₄	D₅₃	semidirect
219. C₅₃	#25782	semidirect
357. C₂²	#16811007	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₁₂	2
C₂×#16811007	2
C₂×#16810859	2
C₂×#16810764	2
#20278373	2
#20275812	2
#20275576	2
C₈×C₂²⋊C₄×C₅₃	2
#25782	53