Subgroups — #27439868

Order 13568.

1034 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16811025	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20283025	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276049	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276044	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274916	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#16811180	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133209	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
15	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811025	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133151	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133149	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810507	—	2	2	no	—
21	#16810496	—	2	2	no	—
22	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
32	#13133217	—	2	8	no	—
33	#13133209	—	2	4	no	—
34	#13133209	—	2	4	no	—
35	#13133209	D₄	1	8	yes	—
36	#13133196	—	2	16	no	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
38	#13133176	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
44	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	#13133151	—	2	8	no	—
50	#13133149	—	2	8	no	—
51	#13133124	—	2	2	no	—
52	#13133124	—	2	2	no	—
53	#13133124	—	2	2	no	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²⋊C₈×C₅₃	Q₈	1	8	yes	complemented
63	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
82	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
87	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
88	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	#11719919	—	2	16	no	—
100	#11719919	—	4	4	no	—
101	#11719919	—	4	4	no	—
102	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
134	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
135	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
137	#25814	—	53	1	no	maximal, Sylow
138	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
147	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
148	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
150	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
152	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
153	Dic₅₃	—	4	8	no	—
154	Dic₅₃	—	8	2	no	—
155	Dic₅₃	—	8	2	no	—
156	C₂×#533	—	53	1	no	—
157	C₂×#499	—	53	2	no	—
158	#2851	—	53	1	no	—
159	#2058	—	53	2	no	—
160	#2057	—	53	2	no	—
161	#1991	—	53	2	no	—
162	#1854	—	53	4	no	—
163	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×C₅₃	#2434	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	#3002	1	2	yes	—
167	C₂×C₅₃	#3160	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	#3166	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	#3233	1	2	yes	—
170	#533	—	106	8	no	—
171	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
172	C₂×#125	—	53	2	no	—
173	C₂×#125	—	53	1	no	—
174	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
175	C₂×C₄×Q₈	—	106	2	no	—
176	C₂×#117	—	53	2	no	—
177	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	#499	—	106	8	no	—
179	C₂×#107	—	53	4	no	—
180	C₂×#106	—	53	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
182	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	#389	—	53	2	no	—
184	#387	—	106	2	no	—
185	#385	—	106	2	no	—
186	#382	—	53	1	no	—
187	#380	—	53	2	no	—
188	#340	—	53	4	no	—
189	#340	—	53	4	no	—
190	#336	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	#336	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₅₃	#25814	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
194	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
195	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
198	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
199	#125	—	53	8	no	—
200	#125	—	106	4	no	—
201	#125	—	106	4	no	—
202	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
203	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
204	#117	—	106	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
216	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#107	—	106	8	no	—
220	#106	—	106	8	no	—
221	C₂²⋊C₈	Dic₁₀₆	1	8	yes	complemented
222	C₄×C₈	—	2	4	no	—
223	#95	—	106	2	no	—
224	#95	—	106	2	no	—
225	#95	—	106	2	no	—
226	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
227	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	106	8	no	—
264	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	#13133217	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	212	16	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	106	8	no	—
282	C₂×C₄	—	212	2	no	—
283	C₂×C₄	—	212	2	no	—
284	C₂×C₄	—	212	2	no	—
285	C₂×C₄	—	212	2	no	—
286	C₂×C₄	—	212	2	no	—
287	C₂×C₄	—	212	2	no	—
288	C₂×C₄	—	212	4	no	—
289	C₂×C₄	—	212	4	no	—
290	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#13133217	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#13133239	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
297	C₈	—	2	4	no	—
298	C₈	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂×#13133217	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#16811199	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
308	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	2	4	no	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	424	2	no	—
313	C₄	—	424	2	no	—
314	C₄	—	212	8	no	—
315	C₄	D₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
316	C₄	D₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
317	C₂	—	4	2	no	—
318	C₂	#20278359	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#20283937	1	2	yes	—
320	C₂	#20285229	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#20285267	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#20285896	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25814
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16811025	C₂	semidirect
4. #20276049	C₂	semidirect
5. #20276044	C₂	semidirect
6. #20275680	C₂	semidirect
62. C₂²⋊C₈×C₅₃	Q₈	semidirect
192. C₅₃	#25814	semidirect
221. C₂²⋊C₈	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811180	2
C₂×#16811025	2
#20283025	2
#20276049	2
#20276044	2
#20275680	2
#20274916	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#25814	53