Subgroups — #27439955

Order 13568.

1058 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20279668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276057	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275660	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274925	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄×#13133134	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₅₃×#3501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
10	#16811033	—	2	4	no	—
11	#16811026	—	2	2	no	—
12	#16811019	—	2	2	no	—
13	#16810666	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#13133134	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810559	—	2	2	no	—
17	#16810526	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810382	C₂²	1	8	yes	—
22	C₅₃×#554	—	2	2	no	—
23	C₅₃×#554	—	2	4	no	—
24	D₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
25	C₅₃×#544	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#543	—	2	2	no	—
27	C₅₃×#533	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
29	C₅₃×#518	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
32	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
33	#13133217	—	2	2	no	—
34	#13133217	—	2	2	no	—
35	#13133196	—	4	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
40	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133150	—	2	8	no	—
43	#13133148	—	2	8	no	—
44	#13133134	Q₈	1	8	yes	complemented
45	#13133128	—	2	2	no	—
46	C₄×#88322	—	2	2	no	—
47	#13133124	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
51	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
55	#125×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
59	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#117×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
117	#11719919	—	4	8	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
119	#11719917	—	2	4	no	—
120	#11719917	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
121	C₂×#88322	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
127	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
128	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
129	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
131	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
154	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
155	#88322	—	2	8	no	—
156	#25824	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
172	C₄×C₅₃	#453	1	2	yes	—
173	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	4	yes	—
174	Dic₅₃	—	4	4	no	—
175	Dic₅₃	—	8	2	no	—
176	#3501	D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	#3165	—	53	2	no	—
178	#2542	—	53	1	no	—
179	#2060	—	53	4	no	—
180	#1986	—	53	2	no	—
181	#1856	—	53	4	no	—
182	C₄×#100	—	53	1	no	—
183	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
184	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
185	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
186	C₂×C₅₃	#2434	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3022	1	1	yes	characteristic
189	#554	—	2	2	no	—
190	#554	—	2	4	no	—
191	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
192	#544	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	#543	—	2	2	no	—
194	#533	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
196	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
198	#518	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	#501	—	106	4	no	—
201	#500	—	106	2	no	—
202	#498	—	106	2	no	—
203	#428	—	53	8	no	—
204	C₂×#100	—	53	2	no	—
205	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
206	#399	—	106	2	no	—
207	#390	—	53	2	no	—
208	#384	—	53	2	no	—
209	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
210	#343	—	53	2	no	—
211	#339	—	53	8	no	—
212	C₅₃	#25824	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
215	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
218	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
219	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
220	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
221	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
222	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
223	#125	—	2	4	no	—
224	#125	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
225	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
229	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂²⋊Q₈	—	212	8	no	—
233	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₄×D₄	—	2	4	no	—
236	C₄×D₄	—	2	4	no	—
237	C₄×D₄	—	2	2	no	—
238	C₄×D₄	—	2	2	no	—
239	#117	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	#107	—	106	8	no	—
253	#106	—	106	8	no	—
254	#100	—	53	8	no	—
255	#97	—	106	2	no	—
256	C₄×C₈	—	106	2	no	—
257	#95	—	106	1	no	—
258	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
265	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
266	C₂×D₄	—	2	2	no	—
267	C₂×D₄	—	2	2	no	—
268	C₂×D₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	M₁₆	—	53	8	no	—
281	M₁₆	—	106	4	no	—
282	C₂×C₈	—	106	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
294	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	106	4	no	—
302	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	#13133215	1	4	yes	—
309	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	4	4	no	—
311	Q₈	—	8	2	no	—
312	Q₈	—	8	4	no	—
313	Q₈	—	424	2	no	—
314	Q₈	—	424	2	no	—
315	D₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	106	4	no	—
327	C₂×C₄	—	212	4	no	—
328	C₂×C₄	—	212	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
337	C₈	—	106	8	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#16811197	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	424	2	no	—
354	C₄	—	212	4	no	—
355	C₄	#16810791	1	2	yes	—
356	C₄	Q₈×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
357	C₂	—	2	1	no	—
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	4	4	no	—
360	C₂	#20278355	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#16810791	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20284094	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133186
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3501	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³
hypercenter	#3501	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25824
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3501

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285262	C₂	semidirect
3. #20276057	C₂	semidirect
4. #20275660	C₂	semidirect
44. #13133134	Q₈	semidirect
120. #11719917	C₂×Q₈	semidirect
212. C₅₃	#25824	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285262	2
#20279668	2
#20276057	2
#20275660	2
#20274925	2
C₄×#13133134	2
C₅₃×#3501	2
#25824	53