Subgroups — #27440078

Order 13568.

1038 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16811021	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810909	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20279700	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20276049	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20275662	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274986	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₄×#13133142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	Q₈×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
11	Q₈×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
12	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133216	—	2	1	no	—
16	C₂×#13133216	—	2	2	no	—
17	C₂×#13133215	—	2	1	no	—
18	C₂×Q₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16811021	—	2	4	no	—
22	#16810909	—	2	4	no	—
23	C₂×#13133149	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810553	—	2	2	no	—
28	#16810528	—	2	1	no	—
29	#16810521	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
32	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#13133217	—	2	2	no	—
42	#13133217	—	2	4	no	—
43	#13133217	—	2	4	no	—
44	#13133217	—	2	2	no	—
45	#13133217	—	2	2	no	—
46	#13133217	D₄	1	4	yes	—
47	#13133216	—	2	8	no	—
48	#13133216	—	2	16	no	—
49	#13133215	—	4	4	no	—
50	Q₈×Dic₅₃	—	2	8	no	—
51	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
52	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
54	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
63	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
64	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
68	#13133149	—	2	8	no	—
69	#13133149	—	2	4	no	—
70	#13133142	—	2	4	no	—
71	#13133142	Q₈	1	8	yes	complemented
72	#13133124	—	2	4	no	—
73	#13133124	—	2	1	no	—
74	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×Q₈×C₅₃	SD₁₆	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	#11719919	—	2	8	no	—
132	#11719919	—	2	4	no	—
133	#11719919	—	4	8	no	—
134	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
136	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
165	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
166	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
167	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
168	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
169	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
170	Dic₁₀₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	complemented
171	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
172	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
173	#25837	—	53	1	no	maximal, Sylow
174	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
181	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
182	C₄×C₅₃	#448	1	4	yes	—
183	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
186	Dic₅₃	—	2	4	no	—
187	Dic₅₃	—	4	4	no	—
188	Dic₅₃	—	4	4	no	—
189	Dic₅₃	—	4	2	no	—
190	Dic₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂×Q₈²	—	53	1	no	—
192	C₂×#498	—	53	1	no	—
193	C₂×#475	—	53	1	no	—
194	#2546	—	53	1	no	—
195	#2058	—	53	4	no	—
196	#1987	—	53	1	no	—
197	#1984	D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	#1865	—	53	4	no	—
199	C₄×#103	—	53	1	no	—
200	C₂×C₅₃	#2434	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	C₂×#448	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3009	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	Q₈×SD₁₆	1	2	yes	—
204	C₂×C₅₃	#3387	1	2	yes	—
205	Q₈²	—	106	4	no	—
206	Q₈²	—	106	4	no	—
207	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
208	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
210	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
211	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
212	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
213	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄×Q₈	—	106	1	no	—
216	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	#498	—	106	4	no	—
218	#475	—	106	4	no	—
219	C₂×#106	—	53	2	no	—
220	C₂×#106	—	53	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂×#103	—	53	2	no	—
223	C₂×#103	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#398	—	106	2	no	—
226	#391	—	106	1	no	—
227	#389	—	53	4	no	—
228	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
229	#340	—	53	2	no	—
230	#340	—	53	4	no	—
231	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
232	C₅₃	#25837	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
233	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
234	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
235	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
236	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
237	C₂²×Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
241	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
242	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
244	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
245	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
247	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
248	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
249	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
252	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
253	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
254	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
255	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
256	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
262	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
263	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
265	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
266	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄⋊C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
268	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
269	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
270	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
271	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	#106	—	106	4	no	—
274	#106	—	106	8	no	—
275	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
276	#103	—	53	8	no	—
277	#103	—	106	4	no	—
278	C₄×C₈	—	2	2	no	—
279	#95	—	106	1	no	—
280	#95	—	106	4	no	—
281	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
282	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
284	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
285	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
289	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
290	C₂×Q₈	—	424	4	no	—
291	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
294	C₂×Q₈	#11719913	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
299	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
300	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
304	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
326	C₄²	—	2	2	no	—
327	C₄²	—	2	2	no	—
328	C₄²	—	106	8	no	—
329	C₄²	—	106	4	no	—
330	C₄²	—	212	2	no	—
331	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
332	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	2	8	no	—
335	Q₈	—	53	4	no	—
336	Q₈	—	106	4	no	—
337	Q₈	—	106	2	no	—
338	Q₈	—	424	4	no	—
339	Q₈	—	424	8	no	—
340	Q₈	—	424	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	106	4	no	—
347	C₂×C₄	—	106	2	no	—
348	C₂×C₄	—	106	4	no	—
349	C₂×C₄	—	106	4	no	—
350	C₂×C₄	—	106	2	no	—
351	C₂×C₄	—	212	2	no	—
352	C₂×C₄	—	212	2	no	—
353	C₂×C₄	—	212	2	no	—
354	C₂×C₄	—	212	2	no	—
355	C₂×C₄	—	212	2	no	—
356	C₂×C₄	—	212	4	no	—
357	C₂×C₄	—	212	2	no	—
358	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#13133187	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#13133250	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	4	2	no	—
369	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	Q₈×D₂₁₂	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂²×#11719913	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#13133250	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#16811435	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	106	4	no	—
378	C₄	—	424	2	no	—
379	C₄	—	212	4	no	—
380	C₄	—	212	4	no	—
381	C₄	—	212	2	no	—
382	C₄	#16810764	1	4	yes	—
383	C₄	C₄⋊Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#16811193	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#16811286	1	2	yes	—
386	C₂	#20278358	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#16810764	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#20283994	1	1	yes	characteristic
389	C₂	Q₈×#11719913	1	2	yes	—
390	C₂	#20287649	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1984	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#1984	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25837
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ #1984

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
71. #13133142	Q₈	semidirect
170. Dic₁₀₆	C₄⋊Q₈	semidirect
232. C₅₃	#25837	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Dic₁₀₆	2
C₂×#16811021	2
C₂×#16810909	2
#20279700	2
#20276049	2
#20275662	2
#20274986	2
C₄×#13133142	2
C₅₃×#1984	2
#25837	53