Subgroups — #27440281

Order 13568.

1346 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20283025	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20275958	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275527	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274655	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₅₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133209	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#16810977	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810507	—	2	2	no	—
19	#16810496	—	2	2	no	—
20	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#532	—	2	8	no	—
25	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121×C₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂×C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133209	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
36	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
38	#13133141	—	2	8	no	—
39	#13133141	—	4	4	no	—
40	#13133138	—	2	8	no	—
41	#13133138	—	4	4	no	—
42	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
43	C₄×#88322	—	2	4	no	—
44	#13133124	—	2	2	no	—
45	#13133124	—	2	2	no	—
46	#13133124	—	2	2	no	—
47	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂×#41×C₅₃	—	4	4	no	—
51	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
59	#127×C₅₃	—	2	4	no	—
60	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
61	#124×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
62	#121×C₅₃	—	2	16	no	—
63	C₄×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
73	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	#11719919	—	4	4	no	—
114	#11719919	—	4	4	no	—
115	C₂×#88322	—	2	4	no	—
116	C₂×#88322	—	2	4	no	—
117	C₂×#88322	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
131	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
134	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	#88322	—	4	4	no	—
160	#25858	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
175	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
176	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
179	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
180	C₄×C₅₃	#546	1	4	yes	—
181	Dic₅₃	—	8	2	no	—
182	Dic₅₃	—	8	2	no	—
183	C₂×#532	D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂×#488	—	53	2	no	—
185	#2851	—	53	1	no	—
186	#2043	—	53	2	no	—
187	#2041	—	53	2	no	—
188	#1958	—	53	2	no	—
189	#1788	—	53	4	no	—
190	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
192	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
193	C₂×C₅₃	#2435	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3002	1	2	yes	—
195	C₂×C₅₃	#3131	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3142	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3212	1	2	yes	—
198	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	#532	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂×#125	—	53	1	no	—
203	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×#121	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#488	—	106	8	no	—
208	C₂×#103	—	53	4	no	—
209	C₂×#103	—	53	4	no	—
210	C₂×#102	—	53	4	no	—
211	C₂×#102	—	53	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
213	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
214	#389	—	53	2	no	—
215	#387	—	106	2	no	—
216	#385	—	106	2	no	—
217	#382	—	53	1	no	—
218	#380	—	53	2	no	—
219	#336	—	53	2	no	—
220	C₅₃	#25858	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
221	C₂×#41	—	2	4	no	—
222	C₂×#41	—	2	4	no	—
223	C₂×#41	—	2	8	no	—
224	C₂×#41	—	4	4	no	—
225	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
229	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
234	#127	—	2	4	no	—
235	#125	—	106	4	no	—
236	#124	—	2	4	no	—
237	#124	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
238	#121	—	2	16	no	—
239	C₄×D₄	—	2	16	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
247	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	#103	—	106	8	no	—
252	#103	—	212	4	no	—
253	#102	—	106	8	no	—
254	#102	—	212	4	no	—
255	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
256	C₄×C₈	—	106	4	no	—
257	#95	—	106	2	no	—
258	#95	—	106	2	no	—
259	#95	—	106	2	no	—
260	C₂⁴	—	2	2	no	—
261	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	#41	—	4	16	no	—
263	#41	—	4	16	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
267	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
268	C₂×D₄	—	2	8	no	—
269	C₂×D₄	—	2	8	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
289	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	—	106	4	no	—
295	C₂×C₈	—	106	4	no	—
296	C₂×C₈	—	106	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	1	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	#13133204	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	2	8	no	—
320	Q₈	—	4	4	no	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	4	16	no	—
323	D₄	—	4	16	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	16	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	#13133186	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#13133204	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#13133237	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
349	C₈	—	212	4	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	8	2	no	—
358	C₂²	—	8	2	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
364	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	424	2	no	—
370	C₄	—	424	2	no	—
371	C₄	#16811267	1	4	yes	—
372	C₂	—	4	2	no	—
373	C₂	—	8	4	no	—
374	C₂	#20278362	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#20283933	1	2	yes	—
376	C₂	#20285037	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20285115	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20285691	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₂×C₅₃×#532	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×#532	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25858
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810977	C₂	semidirect
2. #20283025	C₂	semidirect
3. #20275958	C₂	semidirect
4. #20275946	C₂	semidirect
5. #20275527	C₂	semidirect
6. #20274655	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
220. C₅₃	#25858	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810977	2
#20283025	2
#20275958	2
#20275946	2
#20275527	2
#20274655	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
C₂×C₅₃×#532	2
#25858	53